Алгоритм восстановления u по V или V по U.  

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, а далее всю функцию .

Например, нам известна . Тогда  = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля  от фиксированной точки, например (0,0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

 =  и далее вычислить.

Итак, алгоритм:

1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе  или  не может быть частью какой-то единой комплексной функции).

2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции  выразить  по формулам: , . При правильном вычислении сократятся все  и останется только .

Задача 30. Дано . Найти мнимую часть и восстановить вид функции .

Решение. Сначала проверяем уравнение Лапласа.

, , сумма 2-й производных равна 0, то есть  является одной из компонент комплексной функции.

 = = , где .

Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля.

 =  = .

Если известно, что  = , то далее найти вид  - делали в задаче 29,

Ответ. .

 

 

Задача 31. Дано , . Найти .

Решение.   Сначала проверим уравнение Лапласа

в сумме 0.

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная  может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить , найдём её в виде потенциала от её градиента:  то есть в виде потенциала векторного поля . Дело в том, что в такой записи можно заменить производные от неизвестной функции  на производные от известной функции  по условиям Коши-Римана. . А первые производные от  уже известны, мы их вычисляли выше в процессе проверки уравнения Лапласа. Как и при вычислении потенциала, в качестве начальной точки как правило, принимаем (0,0) и интегрируем по ломаной.

 =  =  =

 = , а так как начальная точка (0,0) была взята произвольно, могла быть и иная точка, то надо записать с точностью до константы: .

При этом, если дано , то .

Итак, . 

Получить вид  - см. задачу 28: .  

Ответ. .

 

Практика 4 (неделя с 21 по 27 сентября).

Задача 32. .

А. Найти  Б. Найти .

Решение.   Проверим уравнение Лапласа.

,   .

Сумма вторых производных равна 0.

Ищем  =  =  = =  =  = .

При произвольном выборе начальной точки, , из условия  определим константу . Если  то , тогда .

 

.

Итак,  =  =  = . Здесь можно даже не пользоваться формулами , , ведь мы уже сумели получить  в первой скобке, а во 2-й  в обратном порядке и одна с минусом, если домножить и поделить на  , то также удастся получить выражение с .

 =  =  =  = = .   

Для сравнения - старым методом:

 =  =

 =  =

= . 

Ответ. .