Практика 1 (неделя до 6 сентября).

Приходовский М.А.

Математика - 3 семестр

Курс практических занятий

Учебное пособие

Группы 519-1-2, 529, 539.

Томск

ТУСУР

2020

Оглавление по темам

 

Оглавление по номерам практик

Практика № 1...................................................... 3

Практика № 2........................................................11

Практика № 3........................................................20

Практика № 4........................................................28

Практика № 5........................................................35

Практика № 6........................................................42

Практика № 7........................................................48

Практика № 8........................................................54

Практика № 9........................................................

 

Практика 1 (неделя до 6 сентября).

Комплексные числа

Задача 1. Умножить и поделить в алгебраической форме числа  и .

Решение.  Умножим эти числа.  =  =

 = .

Поделим, с помощью умножения на сопряжённое:

 =  =  =  =  =  = .

Ответ.  и .

Задача 2.    Умножить и поделить .

Решение.  =  =  = .

 =  =  =  = .

Ответ.  и . 

Задача 3. Разделить  тремя способами:

1) с помощью умножения на сопряжённое число

2) в тригонометрической форме.

3) в показательной форме.

Решение.     1) = = .

2) Построим чертёж, найдём модуль и аргумент каждого из 2 чисел.

Модули ищутся по теореме Пифагора и равны  и .

Аргументы: , .

Итак,  .

Делим их модули и вычитаем аргументы.

 =  =

 = . 

3) =  =  = =  =

Ответ. .

 

Задача 4. Умножить  тремя способами:

1) с помощью обычного раскрытия скобок.

2) в тригонометрической форме.

3) в показательной форме.

Решение.   1)  =  = .

2) Построим чертёж и найдём тригонометрическую форму каждого из чисел.

 

.

 

Умножаются их модули и складываются аргументы.

 =  =

 = .

3)   =  = , а далее раскроем по формуле Эйлера  =  = .

Ответ. . 

 

 

Задача 5. Вычислить в показательной форме .

Решение.

Для 1-го числа: ,  .   Для 2-го: , .  

Тогда  =  =  =  = , прибавим , для удобства вычисления. Итак,  = .

Ответ. .

Дом. задание. Задачу 5 можно самостоятельно решить без показательной формы, умножением на сопряжённое.

Задача 6. Возвести в степень: .

Решение. Перейдём к показательной форме, для этого сначала найдём модуль и аргумент числа  с помощью чертежа. Число в 1-й четверти, угол 45 градусов.

Чертёж, показывающий, расположение  на плоскости, это число выделено красным цветом:

 = . По формуле Муавра,  =

 = =  =  =  = . 

 

Ответ. . 

Задача 7. Возвести в степень в показательной форме: .

Решение.    Сначала построим чертёж и найдём  и .

 

По чертежу видно, что угол здесь на 45 град. меньше чем 180, то есть 135 градусов, то есть , Проекции красной линии на координатные оси имеют длину 1 (каждая), поэтому . Тогда ,  =

=  = , мы можем отбросить 1 или более полных оборотов, при этом синус и косинус не изменятся, то есть отнять , либо . Тогда угол  эквивалентен , и остаётся вычислить:  =  = .

Ответ .

 

Задача 8. Возвести в степень .    

Решение. Аналогично прошлой задаче, сначала переводим в показательную форму. Угол здесь 30 градусов, то есть , модуль . Итак,  = .

Тогда  =  =  =  =

Теперь можем отнять полный оборот  , косинус и синус при этом не меняются. тогда получим  =  = 

 = . Ответ. .

Домашняя задача. Как в задаче 8, возвести в степень .   Ответ.

Задача 9. Вычислить

Решение. Представим каждое число в показательной форме.

 , , , .

 = =  =  =  =  но можно произвольно прибавить , ведь от этого не изменятся синус и косинус, поэтому

=  = .        Ответ. .

Задача 10. Вычислить  . 

Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.

,   и , . Тогда

 =  =  =  здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее,  =  =  =  =  =  = .

Ответ. .

 

Домашняя задача.  Вычислить . Ответ.

Корни из комплексных чисел.

Вспомнить формулу: .

Задача 11. Вычислить .

Решение. Для числа : .

По формуле  получаем 

 = , значений будет всего 2.

:  = ,

: = .

Ответ.

 

Задача 12. Вычислить .

Решение. Сначала запишем число в тригонометрической форме.

. Тогда

 =

. Начертим окружность радиуса 2 и отметим там 6 точек, первой соответствует угол 30⁰, остальные больше на 60⁰, 120⁰ и так далее. 

.

Ответ.  и .

 

 

Задача 13. Вычислить

Решение.   Формула: .

Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.

 (т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),

.

Тогда  =  =  таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 30⁰, 120⁰, 210⁰, 300⁰ (по +90⁰ добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:

:  =  = .

:  =  = .

:  =  = .

:  =  = .

Чертёж:

 

Ответ.   и .

Условия Коши-Римана.

В следующей серии задач надо представить функцию в виде , а также проверить выполнение условий Коши-Римана.

 

Задача 21.  представить в виде , и проверить выполнение условий Коши-Римана. 

Решение.  =  = , .

Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е:

,  не равны между собой.

Ответ. , .

Задача 22. Функцию  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.  =  =  =

 =  = .

Поэтому , .

Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:

, .

Ответ. , .

 

Задача 23.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.

 =  =

. .

Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них:

. , они противоположны, а должны совпадать.

Ответ. . .

 

Задача 24.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =  =  =

Далее по формуле Эйлера  =  =

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана.

Они совпадают (1-е условие Коши-Римана).

Они противоположны (2-е условие Коши-Римана).

Ответ. , .

Задача 25.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =  =

Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.

 =  = ,

- внутри

, . 

Проверим условия Коши-Римана

 =

 =  = = .

Первое условие выполнено.

, = , они противоположны, второе условие выполнено.

Ответ. , . 

 

 

Задача 26.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.  Если , то  =

 =  =   

далее раскроем по формуле Эйлера:

... =  =

воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса:

... =  =

 =

 =  ,

тогда , .

Это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: .

Проверим условия Коши-Римана.

 =

 = .

Первое условие выполнено.

, они противоположны, второе условие выполнено.

Ответ. , .

 

 

Задача 27.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =  =

 =  = 

 , тогда

, .

Проверим условия Коши-Римана.

  совпадают; 

    противоположные. 

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ. , .

 

Обратная задача:

Восстановление функции  по разложению .

Примечание. С помощью формул , .

Задача 28. Дано: . Восстановить функцию . (обратная к задаче 27).

Решение. Вспомним, что: ,

и применим эти выражения в записи .

 =

 =

 =

=  =

=  =

 =

Ответ. .  

 

Задача 29. Дано:  =  . Найти вид .

Решение. Подставим , .

=  =

 =  =  = . Итак, .

Ответ. .

 

 

Интегральная формула Коши.

Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:

и .

 

Задача 41 (из лекц.). Вычислить .

Решение.   Окружность радиуса 1,5. Следовательно, точка разрыва 1 внутри, а точка  снаружи, поэтому для неё считать не надо. Однако упустить множитель  при записи нельзя, ведь в функции он остаётся.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 42. Вычислить .

Решение. Здесь, в отличие от прошлого примера, уже не 2 а 3-я степень. =  =  =

 =  =  = .

Ответ. .

Пример 43. Доказать  = 0 для целого .

Решение.   Здесь по обобщённой интегральной формуле Коши при любом n получается, что нужно рассматривать . Но ведь любая производная от константы 1 есть 0. Поэтому результат 0.

 = 0 для .

 

Далее будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.

Задача 44. Вычислить  , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и .

 = .

Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка  одна из них, а именно, в первом пункте , а во втором . Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное  вместо  в оставшейся части функции. 

А)  =  =  =  =  =  .

Б)  =  =  =  =  =  .

В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится .

Ответы. А)      Б)   В) .

Задача 45. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В)    Г)  Д) .

Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.

А)  =  = .

Б)  =  = .

В)  =  = .

Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата: 

Г)  +  = 0.

В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура: 

Д)  =   .

Ответы. А)    Б)      В)     Г) 0 Д)  .

 

Задача 46. Вычислить .

Решение.  = . Здесь две особые точки, это , они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.

 =  =

 = .

Ответ. 0.

Задача 47. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение.