Практика 6 (неделя с 5 по 11 октября).

Задача 51. Вычислить .

Решение. Внутри окружности радиуса 2 лежат 2 из 3 особых точек, а именно, 0 и 1, точка 3 снаружи.

Поэтому интегральную формулу Коши применяем только к двум точкам.

 =  .

Предварительно вычислим производную.

 =  =  = .

Далее,  =

 =  =

 = .         Ответ. .

Задача 52. Вычислить .

Решение. , тогда    =  =  =  =  = =

Ответ. .

 

Особые точки и вычеты.

Задача 53. Найти все особые точки и определить их тип для функции .

Решение. Здесь нужно сначала преобразовать выражение в знаменателе, выделить множители, соответствующие каждому корню.

 =  =  = . Таким образом, полюсы 1-го порядка: .

Ответ. Полюсы 1-го порядка: .

Задача 54. Найти все особые точки и определить их тип для функции .

Решение. Разложим знаменатель на множители,

 =  = .

При , ,  нули 1-го порядка в знаменателе, тогда для функции это полюсы 1 порядка.

Ответ. Полюсы 1-го порядка: .

Задача 55. Исследовать тип особой точки  для .

Решение. Здесь в знаменателе 3-я степень, но в этой точке в числителе тоже 0, и он влияет на итоговый порядок полюса. Надо в числителе разложить в ряд, чтобы остались одни лишь только степенные функции, потом вынесем за скобку минимальную степень, и это будет определять порядок нуля в числителе.

 =  =

В числителе и знаменателе нули соответственно 1-го и 3-го порядка. После сокращения на  видно, что полюс 2 порядка, так как в скобках осталась функция, не стремящаяся к 0 в .

.

Ответ.  полюс 2 порядка.

Задача 56. Исследовать тип особой точки  для .

Решение. Во-первых, сразу видно, что  полюс 2-го порядка. Далее, сделаем замену , этим самым мы получим возможность вместо  исследовать точку .

 =  =  =

. Итак, в знаменателе осталось . Точка  полюс 4-го порядка. Значит,  полюс 4-го порядка.

Ответ.  полюс 4-го порядка.

 

Напомним формулы вычисления вычетов (из лекций).

 полюс порядка 1:  = .

Она следует из формулы Коши:   

 

 полюс порядка m:  = .

Она следует из формулы Коши: .

Задача 57. Вычислить вычет

Эквивалентная формулировка: вычислить .

Решение. Точка  является полюсом 1-го порядка. Вычисляем по формуле  = .

 =  =  =  = .

Ответ.   .

Замечание. По интегральной формуле Коши то же самое:  = =  = . 

Задача 58. Вычислить вычет

Решение. Точка  является полюсом 2-го порядка. Вычисляем по формуле  =  при .

Более конкретно эта формулы выглядит так:

 = . В этом конкретном примере получается  = =

 =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 59. Вычислить вычет

Решение. Несмотря на то, что видим здесь , тем не менее, полюс  не 2-го порядка, потому что в другом множителе тоже присутствует .  

=  = .

Таким образом,  полюс 3 порядка.

Тогда  =  =  =

 =  =  = .

Ответ. .

 

Задача 60. Вычислить вычеты во всех особых точках и в  для функции .

Решение. Особые точки здесь 1 и , полюсы 1 порядка.

 =  =  = .

 = =  = .

Для вычисления  использовать тот факт, что  противоположен сумме всех вычетов в конечных особых точках. Тогда

 =  =  = .

Ответ.  = ,   = ,  = .

 

Задача 61. Вычислить вычет .

Решение. Здесь 7 это полюс 3-го порядка. Тогда надо использовать формулу  = , которая при  выглядит так:  = .

Итак,  =  =

 =   =  = =  =  =  =

 = .    Ответ. .

 

Задача 62. Вычислить вычет .

Решение. Заметим, что здесь всего одна особая точка в плоскости, это . Таким образом, вычет в  противоположен вычету в .  =  =  =  =  = .      Ответ. .