Способ 2. По формуле Ньютона-Лейбница.

Заметив, что функция  аналитическая, т.е. для неё выполняются условия Коши-Римана, можно не раскрывать скобки предыдущим способом, а вычислить первообразную по  в начальной и конечной точке.

 =  = , а дальше всё сводится просто к вычислению степени комплексного числа.

 = , тогда

= .

Ответ.  

Домашняя задача.   Вычислить , где  дуга параболы  (от точки 0 до  ). Ответ. .

 

Задача 38. Вычислить  по участку единичной окружности в 1-й четверти от 1 до .

Решение. Здесь тоже можно вычислять как без, так и по формуле Ньютона-Лейбница. Но разница в объёме вычислений будет огромная.

Так как функция аналитическая, нам не важно, соединены точки по дуге окружности или по какой-то другой линии, на самом деле результат зависит только от первообразной в начальной и конечной точках.  Сделаем по формуле Ньютона-Лейбница.

 =  =  =  = .

Ответ. .

Для сравнения, № 38 можно решить в качестве домашней задачи и без формулы Ньютона-Лейбница.

 

Задача 39.  Вычислить .

Решение. Здесь сумма степенных функций, они являются аналитическими. Поэтому используем формулу Ньютона-Лейбница.

 =  =  .

Отдельно вычислим ,

.

Тогда  = .

Ответ. .

Задача 40. Вычислить .

Решение. Можно применять формулу Ньютона-Лейбница, так как функция  аналитическая.

, тогда:  

, .

 =  =  =  =  =

 = .

Ответ. .

Домашняя задача. Вычислить . Ответ. .

Решение.  =  =  .

Вычислим квадрат и куб этого числа. ,

 = .

Тогда  =  =

. Ответ. .

 

Практика 5 (неделя с 28 сентября по 4 октября).

Интегральная формула Коши.

Следующая серия задач решается с помощью формул Коши:

и .

 

Задача 41 (из лекц.). Вычислить .

Решение.   Окружность радиуса 1,5. Следовательно, точка разрыва 1 внутри, а точка  снаружи, поэтому для неё считать не надо. Однако упустить множитель  при записи нельзя, ведь в функции он остаётся.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 42. Вычислить .

Решение. Здесь, в отличие от прошлого примера, уже не 2 а 3-я степень. =  =  =

 =  =  = .

Ответ. .

Пример 43. Доказать  = 0 для целого .

Решение.   Здесь по обобщённой интегральной формуле Коши при любом n получается, что нужно рассматривать . Но ведь любая производная от константы 1 есть 0. Поэтому результат 0.

 = 0 для .

 

Далее будут комбинированные задачи, состоящие из нескольких подзадач, где контур проводится сначала вокруг той или иной точки разрыва, а затем вокруг всех этих точек.

Задача 44. Вычислить  , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение. В знаменателе разложим на множители, и станет видно, что корни многочлена там 2 и .

 = .

Если контур радиуса 0,5 окружает одну из точек, то надо применить интегральную формулу Коши, где точка  одна из них, а именно, в первом пункте , а во втором . Надо убрать из знаменателя соответствующую скобку, и присвоить конкретное  вместо  в оставшейся части функции. 

А)  =  =  =  =  =  .

Б)  =  =  =  =  =  .

В) В третьем пункте, где контур окружает уже обе точки, достаточно будет воспользоваться теоремой Коши и суммировать результаты двух предыдущих пунктов. Получится .

Ответы. А)      Б)   В) .

Задача 45. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В)    Г)  Д) .

Решение. В каждом случае применяем интегральную формулу Коши к той или иной точке разрыва функции, 2, 3 и 5. Убирая соответствующий множитель из знаменателя, затем подставляем в оставшуюся часть функции это число.

А)  =  = .

Б)  =  = .

В)  =  = .

Если радиус 6, то все 3 точки находятся внутри контура. Суммируем все 3 результата: 

Г)  +  = 0.

В последнем случае, лишь две из трёх точек внутри контура: 

Д)  =   .

Ответы. А)    Б)      В)     Г) 0 Д)  .

 

Задача 46. Вычислить .

Решение.  = . Здесь две особые точки, это , они являются полюсами 1 порядка. Тогда в каждой из этих точек применим интегральную формулу Коши.

 =  =

 = .

Ответ. 0.

Задача 47. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение.  

А)  =  =  = .

Б) В этом случае корень знаменателя имеет кратность 3, так что придётся считать с помощью 2-й производной.

Конкретизируем обобщённую формулу Коши для 3 степени:  

, при n=2:  . Тогда  =  =

 =  =  =  =  =  = .

 

В)  = 0.

Ответы.  А)    Б)   В) 0. 

Задача 48. Вычислить , где контур :

А)    Б)    В) .

Решение.  

А)  =  =  = 0.

Б)  =  =  = = .

В) 0 +  = .

Ответы. А) 0 Б)        В) .

 

  

Задача 49. Вычислить , где контур С:

А)     Б)      В)      Г) .

Решение. Так как здесь в интеграле уже изначально есть множитель , то домножать на   в правой части не нужно.

А)   =  = .

Б)   =  = .

В) В отличие от двух первых точек, здесь в знаменателе корень 2-го порядка, поэтому подставляем  не сразу, а после вычисления производной. 

 =  =  =  =  =  = .

Г) По интегральной теореме Коши, сумма интегралов по трём предыдущим контурам:  +  = 0.

Ответы. А)        Б)     В)     Г) 0.    

Задача 50. Вычислить .

Решение. Здесь две особые точки,  полюс 1-го порядка и  полюс 2-го порядка. Для 2-й точки надо применять обобщённую формулу Коши (с производной).

 =  =

 =  =

.

Ответ. 0.