Задача 17-А (рекомендуемое д-з).

Дано , вычислить .

Это действие, обратное к тому, что в задаче 17. Поэтому очевидно, что в ответе должно получиться

 =  =  =  =  =

 =  = .

Задача 18.  Найти все значения . 

Решение. Используем формулу .

. Так как  это действительное отрицательное число, то значит, . Итак,  = . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , ,...

Ответ. .

 

Задача 19. Вычислить .

Решение.   Применяем формулу , где аргумент вместо  подставим . Тогда  =  = .

Ответ. .

Заметим, что , то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком .

 

Задача 20. Решить уравнение .

Решение.   .

Введём замену , при этом получаем

. Задача разбивается на 2 шага

1) решим это уравнение и найдём ,

2) учитывая  , запишем  и далее найдём .

Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь , тогда . Оба значения  - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент .

Далее,  

 =  =  = .

Получилось две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно .

Чертёж:

       Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства , т.е. .

Общий случай. Если  то  , , . Тогда , что при  порождает .

 

Практика 3 (неделя с 14 по 20 сентября).

 

 

Условия Коши-Римана.

В следующей серии задач надо представить функцию в виде , а также проверить выполнение условий Коши-Римана.

 

Задача 21.  представить в виде , и проверить выполнение условий Коши-Римана. 

Решение.  =  = , .

Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е:

,  не равны между собой.

Ответ. , .

Задача 22. Функцию  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.  =  =  =

 =  = .

Поэтому , .

Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:

, .

Ответ. , .

 

Задача 23.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.

 =  =

. .

Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них:

. , они противоположны, а должны совпадать.

Ответ. . .

 

Задача 24.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =  =  =

Далее по формуле Эйлера  =  =

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана.

Они совпадают (1-е условие Коши-Римана).

Они противоположны (2-е условие Коши-Римана).

Ответ. , .

Задача 25.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =  =

Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.

 =  = ,

- внутри

, . 

Проверим условия Коши-Римана

 =

 =  = = .

Первое условие выполнено.

, = , они противоположны, второе условие выполнено.

Ответ. , . 

 

 

Задача 26.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.  Если , то  =

 =  =   

далее раскроем по формуле Эйлера:

... =  =

воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса:

... =  =

 =

 =  ,

тогда , .

Это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: .

Проверим условия Коши-Римана.

 =

 = .

Первое условие выполнено.

, они противоположны, второе условие выполнено.

Ответ. , .

 

 

Задача 27.  представить в виде , проверить условия Коши-Римана.

Решение.    =  =

 =  = 

 , тогда

, .

Проверим условия Коши-Римана.

  совпадают; 

    противоположные. 

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ. , .

 

Обратная задача:

Восстановление функции  по разложению .

Примечание. С помощью формул , .

Задача 28. Дано: . Восстановить функцию . (обратная к задаче 27).

Решение. Вспомним, что: ,

и применим эти выражения в записи .

 =

 =

 =

=  =

=  =

 =

Ответ. .  

 

Задача 29. Дано:  =  . Найти вид .

Решение. Подставим , .

=  =

 =  =  = . Итак, .

Ответ. .