Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Линейное ДР второго порядка с постоянными коэффициентами:

(5.18)

где  — постоянные величины,

Для нахождения общего решения уравнения (5.18) частное решение ищем в виде , тогда .

Подставим это в уравнение (5.18), и получим соответствующее характеристическое уравнение:

Тогда

(5.19)

Уравнение (5.19) называется характеристическим, а его корни называются характеристическими показателями.

Корни характеристического уравнения (5.19).	Общее решение ДР (13.2) С постоянными коэффициентами.	(5.20)
Действительные, разные		(5.21)
Действительные, кратные		(5.22)
Комплексные ,		(5.23)

Пример 5.12. Найти общее решение ДУ:

Решение. Составим характеристическое уравнение  найдем его корни , корни действительные и различные. Общее решение ДРУ второго порядка найдем по формуле (3):

Пример 5.13. Найти общее решение ДУ:

Решение. Составим характеристическое уравнение  найдем его корни , корни действительные и кратные. Общее решение ДУ второго порядка найдем по формуле (5.21):

Пример 5.14. Найти общее решение ДУ:

Решение. Составим характеристическое уравнение  найдем его корни , корни комплексные и сопряженные.

Общее решение ДУ второго порядка найдем по формуле (5.23):

Пример 5.15. Найти общее решение ДУ:

Решение. Составим характеристическое уравнение  найдем его корни , корни комплексные и сопряженные. Общее решение ДУ найдем по формуле (5.23):

Если правая часть линейного неоднородного ДУ второго порядка (5.18) с правой частью специального вида:

(5.24)

то частное решение ДУ (5.18) с правой частью ищем в виде:

(5.25)

где  - многочлены с неопределенными коэффициентами порядка m, где m равен большему из порядков многочленов .

 если  не является корнем характеристического уравнения;

 если  корень характеристического уравнения.

Для нахождения коэффициентов многочленов  необходимо подставить решение (5.25) в уравнение (5.18) со специальной правой частью (5.23). Выполнить соответствующие преобразования, а затем в полученное тождество подставить коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что позволяет получить систему линейных уравнений соответственно искомых коэффициентов, из которой находим эти коэффициенты.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица значений функции

0,00	0,39894	0,40	0,36827	0,80	0,28969	1,20	0,19419	1,60	0,11092	2,00	0,05399
0,01	0,39892	0,41	0,36678	0,81	0,28737	1,21	0,19186	1,61	0,10915	2,01	0,05292
0,02	0,39886	0,42	0,36526	0,82	0,28504	1,22	0,18954	1,62	0,10741	2,02	0,05186
0,03	0,39876	0,43	0,36371	0,83	0,28269	1,23	0,18724	1,63	0,10567	2,03	0,05082
0,04	0,39862	0,44	0,36213	0,84	0,28034	1,24	0,18494	1,64	0,10396	2,04	0,04980
0,05	0,39844	0,45	0,36053	0,85	0,27798	1,25	0,18265	1,65	0,10226	2,05	0,04879
0,06	0,39822	0,46	0,35889	0,86	0,27562	1,26	0,18637	1,66	0,10059	2,06	0,04780
0,07	0,39797	0,47	0,35723	0,87	0,27324	1,27	0,17810	1,67	0,09893	2,07	0,04682
0,08	0,39767	0,48	0,35553	0,88	0,27086	1,28	0,17585	1,68	0,09728	2,08	0,04586
0,09	0,39733	0,49	0,35381	0,89	0,26848	1,29	0,17360	1,69	0,09566	2,09	0,04491
0,10	0,39695	0,50	0,35207	0,90	0,26609	1,30	0,17137	1,70	0,09405	2,10	0,04398
0,11	0,39654	0,51	0,35029	0,91	0,26369	1,31	0,16915	1,71	0,09246	2,11	0,04307
0,12	0,39608	0,52	0,34849	0,92	0,26129	1,32	0,16694	1,72	0,09089	2,12	0,04217
0,13	0,39559	0,53	0,34667	0,93	0,25888	1,33	0,16474	1,73	0,08933	2,13	0,04128
0,14	0,39505	0,54	0,34482	0,94	0,25647	1,34	0,16256	1,74	0,08780	2,14	0,04041
0,15	0,39448	0,55	0,34494	0,95	0,25647	1,35	0,16038	1,75	0,08628	2,15	0,03955
0,16	0,39387	0,56	0,34105	0,96	0,25164	1,36	0,15822	1,76	0,08478	2,16	0,03871
0,17	0,39322	0,57	0,33912	0,97	0,24923	1,37	0,15608	1,77	0,08329	2,17	0,03788
0,18	0,39253	0,58	0,33718	0,98	0,24681	1,38	0,15395	1,78	0,08183	2,18	0,03706
0,19	0,39181	0,59	0,33521	0,99	0,24439	1,39	0,15183	1,79	0,08038	2,19	0,03626
0,20	0,39104	0,60	0,33322	1,00	0,24197	1,40	0,14973	1,80	0,07895	2,20	0,03547
0,21	0,39024	0,61	0,33121	1,01	0,23955	1,41	0,14764	1,81	0,07754	2,21	0,03470

Продолжение приложения 1

Таблица значений функции

 

0,22	0,38940	0,62	0,32918	1,02	0,23713	1,42	0,14556	1,82	0,07614	2,22	0,03394
0,23	0,38853	0,63	0,32713	1,03	0,23471	1,43	0,14350	1,83	0,07477	2,23	0,03319
0,24	0,38762	0,64	0,32506	1,04	0,23230	1,44	0,14146	1,84	0,07341	2,24	0,03246
0,25	0,38667	0,65	0,32297	1,05	0,22988	1,45	0,13943	1,85	0,07206	2,25	0,03174
0,26	0,38568	0,66	0,32086	1,06	0,22747	1,46	0,13742	1,86	0,07074	2,26	0,03103
0,27	0,38466	0,67	0,31874	1,07	0,22506	1,47	0,13542	1,87	0,06943	2,27	0,03034
0,28	0,38361	0,68	0,31659	1,08	0,22265	1,48	0,13944	1,88	0,06814	2,28	0,02965
0,29	0,38251	0,69	0,31443	1,09	0,22025	1,49	0,13147	1,89	0,06687	2,29	0,02898
0,30	0,38139	0,70	0,31225	1,10	0,21785	1,50	0,12952	1,90	0,06562	2,30	0,02833
0,31	0,38023	0,71	0,31006	1,11	0,21546	1,51	0,12758	1,91	0,06438	2,31	0,02768
0,32	0,37903	0,72	0,30785	1,12	0,21307	1,52	0,12566	1,92	0,06316	2,32	0,02705
0,33	0,37780	0,73	0,30563	1,13	0,21069	1,53	0,12376	1,93	0,06195	2,33	0,02643
0,34	0,37654	0,74	0,30339	1,14	0,20831	1,54	0,12188	1,94	0,06077	2,34	0,02582
0,35	0,37524	0,75	0,30114	1,15	0,20594	1,55	0,12001	1,95	0,05959	2,35	0,02522
0,36	0,37391	0,76	0,29887	1,16	0,20357	1,56	0,11816	1,96	0,05844	2,36	0,02463
0,37	0,37255	0,77	0,29659	1,17	0,20121	1,57	0,11632	1,97	0,05730	2,37	0,02406
0,38	0,37115	0,78	0,29430	1,18	0,19886	1,58	0,11450	1,98	0,05618	2,38	0,02349
0,39	0,36973	0,79	0,29200	1,19	0,19652	1,59	0,11270	1,99	0,05508	2,39	0,02294

 

 

Продолжение приложения 1

Таблица значений функции

2,40	0,02239	2,70	0,01042	3,00	0,00443	3,30	0,00172	3,60	0,00061	3,90	0,00020
2,41	0,02186	2,71	0,01014	01	0,00430	3,31	0,00167	3,61	0,00059	3,91	0,00019
2,42	0,02134	2,72	0,00987	02	0,00417	3,32	0,00161	3,62	0,00057	3,92	0,00018
2,43	0,02083	2,73	0,00961	03	0,00405	3,33	0,00156	3,63	0,00055	3,93	0,00018
2,44	0,02033	2,74	0,00935	04	0,00393	3,34	0,00151	3,64	0,00053	3,94	0,00017
2,45	0,01984	2,75	0,00909	05	0,00381	3,35	0,00146	3,65	0,00051	3,95	0,00016
2,46	0,01936	2,76	0,00885	06	0,00370	3,36	0,00141	3,66	0,00049	3,96	0,00016
2,47	0,01888	2,77	0,00861	07	0,00358	3,37	0,00136	3,67	0,00047	3,97	0,00015
2,48	0,01842	2,78	0,00837	08	0,00348	3,38	0,00132	3,68	0,00046	3,98	0,00014
2,49	0,01797	2,79	0,00814	09	0,00337	3,39	0,00127	3,69	0,00044	3,99	0,00014
2,50	0,01750	2,80	0,00792	3,10	0,00327	3,40	0,00123	3,70	0,00042
2,51	0,01709	2,81	0,00770	3,11	0,00317	3,41	0,00119	3,71	0,00041
2,52	0,01667	2,82	0,00748	3,12	0,00307	3,42	0,00115	3,72	0,00039
2,53	0,01625	2,83	0,00727	3,13	0,00298	3,43	0,00111	3,73	0,00038
2,54	0,01585	2,84	0,00707	3,14	0,00288	3,44	0,00107	3,74	0,00037
2,55	0,01545	2,85	0,00687	3,15	0,00279	3,45	0,00104	3,75	0,00035
2,56	0,01506	2,86	0,00668	3,16	0,00271	3,46	0,00100	3,76	0,00034
2,57	0,01468	2,87	0,00649	3,17	0,00262	3,47	0,06097	3,77	0,00033
2,58	0,01431	2,88	0,00631	3,18	0,00254	3,48	0,00094	3,78	0,00031
2,59	0,01394	2,89	0,00613	3,19	0,00246	3,49	0,00090	3,79	0,00030
2,60	0,01358	2,90	0,00595	3,20	0,00238	3,50	0,00087	3,80	0,00029
2,61	0,01323	2,91	0,00578	3,21	0,00231	3,51	0,00084	3,81	0,00028

 

Продолжение приложения 1

Таблица значений функции

 

2,62	0,01289	2,92	0,00562	3,22	0,00224	3,52	0,00081	3,82	0,00027
2,63	0,01256	2,93	0,00545	3,23	0,00216	3,53	0,00079	3,83	0,00026
2,64	0,01223	2,94	0,00530	3,24	0,00210	3,54	0,00076	3,84	0,00025
2,65	0,01191	2,95	0,00514	3,25	0,00203	3,55	0,00073	3,85	0,00024
2,66	0,01160	2,96	0,00499	3,26	0,00196	3,56	0,00071	3,86	0,00023
2,67	0,01130	2,97	0,00485	3,27	0,00190	3,57	0,00068	3,87	0,00022
2,68	0,01100	2,98	0,00470	3,28	0,00184	3,58	0,00066	3,88	0,00021
2,69	0,01071	2,99	0,00457	3,29	0,00178	3,59	0,00063	3,89	0,00021

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции

0,00	0,0000	0,30	0,1179	0,60	0,2257	0,90	0,3159	1,20	0,3849
0,01	0,0040	0,31	0,1217	0,61	0,2291	0,91	0,3186	1,21	0,3869
0,02	0,0080	0,32	0,1255	0,62	0,2324	0,92	0,3212	1,22	0,3883
0,03	0,0120	0,33	0,1293	0,63	0,2357	0,93	0,3238	1,23	0,3907
0,04	0,0160	0,34	0,1331	0,64	0,2389	0,94	0,3264	1,24	0,3925
0,05	0,0199	0,35	0,1368	0,65	0,2422	0,95	0,3289	1,25	0,3944
0,06	0,0239	0,36	0,1406	0,66	0,2454	0,96	0,3315	1,26	0,3962
0,07	0,0279	0,37	0,1443	0,67	0,2486	0,97	0,3340	1,27	0,3980
0,08	0,0319	0,38	0,1480	0,68	0,2517	0,98	0,3365	1,28	0,3997
0,09	0,0359	0,39	0,1517	0,69	0,2549	0,99	0,3389	1,29	0,4015
0,10	0,0398	0,40	0,1554	0,70	0,2580	1,00	0,3413	1,30	0,4032
0,11	0,0438	0,41	0,1591	0,71	0,2611	1,01	0,3438	1,31	0,4049
0,12	0,0478	0,42	0,1628	0,72	0,2642	1,02	0,3461	1,32	0,4066
0,13	0,0517	0,43	0,1664	0,73	0,2673	1,03	0,3485	1,33	0,4082
0,14	0,0557	0,44	0,1700	0,74	0,2703	1,04	0,3508	1,34	0,4099
0,15	0,0596	0,45	0,1736	0,75	0,2734	1,05	0,3531	1,35	0,4115
0,16	0,0636	0,46	0,1772	0,76	0,2764	1,06	0,3554	1,36	0,4131
0,17	0,0675	0,47	0,1808	0,77	0,2794	1,07	0,3577	1,37	0,4147
0,18	0,0714	0,48	0,1844	0,78	0,2823	1,08	0,3599	1,38	0,4162
0,19	0,0753	0,49	0,1879	0,79	0,2852	1,09	0,3621	1,39	0,4177
0,20	0,0793	0,50	0,1915	0,80	0,2881	1,10	0,3643	1,40	0,4192

 

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 2

Таблица значений функции

0,21		0,0832		0,51	0,1950		0,81		0,2910		1,11		0,3665	1,41		0,4207
0,22		0,0871		0,52	0,1985		0,82		0,2939		1,12		0,3686	1,42		0,4222
0,23		0,0910		0,53	0,2019		0,83		0,2967		1,13		0,3708	1,42		0,4236
0,24		0,0948		0,54	0,2054		0,84		0,2995		1,14		0,3729	1,44		0,4251
0,25		0,0987		0,55	0,2088		0,85		0,3023		1,15		0,3749	1,45		0,4265
0,26		0,1026		0,56	0,2123		0,86		0,3051		1,16		0,3770	1,46		0,4279
0,27		0,1064		0,57	0,2157		0,87		0,3078		1,17		0,3790	1,47		0,4292
0,28		0,1103		0,58	0,2190		0,88		0,3106		1,18		0,3810	1,48		0,4306
0,29		0,1141		0,59	0,2224		0,89		0,3133		1,19		0,3830	1,49		0,4319
1,50	0,4332		1,80			0,4641		2,20	0,4861	2,80		0,4974
1,51	0,4345		1,81			0,4649		2,22	0,4868	2,82		0,4976
1,52	0,4357		1,82			0,4656		2,24	0,4875	2,84		0,4977
1,53	0,4370		1,83			0,4664		2,26	0,4881	2,86		0,4979
1,54	0,4382		1,84			0,4671		2,28	0,4887	2,88		0,4980
1,55	0,4394		1,85			0,4678		2,30	0,4893	2,90		0,4981
1,56	0,4406		1,86			0,4686		2,32	0,4898	2,92		0,4982
1,57	0,4418		1,87			0,4693		2,34	0,4904	2,94		0,4984
1,58	0,4429		1,88			0,4699		2,36	0,4909	2,96		0,4985
1,59	0,4441		1,89			0,4706		2,38	0,4913	2,98		0,4986
1,60	0,4452		1,90			0,4713		2,40	0,4918	3,00		0,49865
1,61	0,4463		1,91			0,4719		2,42	0,4922	3,20		0,49931

 

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 2

Таблица значений функции

1,62	0,4474	1,92	0,4726	2,44	0,4927	3,40	0,49966
1,63	0,4484	1,93	0,4732	2,46	0,4931	3,60	0,199841
1,64	0,4495	1,94	0,4738	2,48	0,4934	3,80	0,499928
1,65	0,4505	1,95	0,4744	2,50	0,4938	4,00	0,499968
1,66	0,4515	1,96	0,4750	2,52	0,4941	4,50	0,499997
1,67	0,4525	1,97	0,4756	2,54	0,4945	5,00	0,499997
1,68	0,4535	1,98	0,4761	2,56	0,4948
1,69	0,4545	1,99	0,4767	2,58	0,4951
1,70	0,4554	2,00	0,4772	2,60	0,4953
1,71	0,4564	2,02	0,4783	2,62	0,4956
1,72	0,4573	2,04	0,4793	2,64	0,4959
1,73	0,4582	2,06	0,4803	2,66	0,4961
1,74	0,4591	2,08	0,4812	2,68	0,4963
1,75	0,4599	2,10	0,4821	2,70	0,4965
1,76	0,4608	2,12	0,4830	2,72	0,4967
1,77	0,4616	2,14	0,4838	2,74	0,4969
1,78	0,4625	2,16	0,4846	2,76	0,4971
1,79	0,4633	2,18	0,4854	2,78	0,4973