Дифференциальные уравнения I порядка однородные

Однородной функцией n -го порядка называется функция  такая, что: (5.8)

Уравнение вида  называется однородным, если функции  - однородные функции одного порядка.

Решение уравнения ищем с помощью замены переменной:

(5.9)

Пример 5.3. Найти общее решение ДУ: .

Решение. Сделаем замену

Подставим значения   в ДУ.

Разделим переменные и интегрируем:

Сделаем замену переменной:

То есть,

Пример 5.4. Найти общее решение ДУ: .

Решение. ДУ можно записать в виде , .

Сделаем замену переменной  

Подставим значения   в ДУ.

Сделаем обратную замену переменной и получим общее решение ДУ:

Дифференциальные уравнения I порядка линейные

 

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(5.10) Если , то линейное ДУ называется однородным.

Если , то линейное ДУ называется неоднородным.

Решение линейного ДУ уравнение (5.10) ищем в виде произведения двух функций  Подставляя, получим уравнение:

(5.11)

Функцию  можно выбрать произвольно, то есть приведем уравнение к системе ДУ уравнений:

(5.12)

Из первого уравнения находим переменную v:

Из второго уравнения находим переменную u:

В результате получим общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка в виде:

(5.13)

 

Пример 5.5. Найти общее решение ДУ: .

Решение. Решение ищем в виде произведения двух функций  тогда

Подставляя в , получим уравнение:

Сведем это уравнение к системе уравнений:

Из первого уравнения системы находим функцию v:

Из второго уравнения системы найдем переменную u:

Находим общее решение линейного ДУ первого порядка:

Пример 5.6. Найти общее решение ДУ:

Решение. Решение ищем в виде произведения функций  Подставляя, получим уравнение:

Приведем уравнение к системе ДУ:

Из первого уравнения системы  находим функцию v:

Из второго уравнения системы имеем:

Находим общее решение линейного ДУ первого порядка:

Основные понятия дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка

                                                   (5.14)

можно решить путем понижения порядка и интегрированием.

Так , где С ₁ – произвольная постоянная. Интегрируя еще раз, получим общее решение дифференциального уравнения (14) в виде , которое содержит две произвольных постоянных С ₁ и С ₂.

5.5. Дифференциальные уравнения второго порядка .

Дифференциальное уравнение второго порядка

,                                            (5.15)

которое не содержит явно неизвестную функцию у, с помощью подстановки

 ,                                              (5.16)

сводится к уравнению первого порядка относительно функции р (х).

Решив это уравнение, найдем  или . Таким образом, получаем уравнение первого порядка относительно неизвестной функции у, решение которого будет иметь вид .

Пример 5.7. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Это уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое допускает понижение порядка. Интегрируя его, получим  или . Интегрируя еще раз полученное дифференциальное уравнение первого порядка (5.3) , найдем общее решение исходного дифференциального уравнения второго порядка . Для нахождения частного решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , , в общее решение и в формулу (5.3) подставим значения х = 0, у = 2, = 1. В результате получим систему уравнений , решив которую, найдем , . Затем найденные значения произвольных постоянных подставим в общее решение дифференциального уравнения (5.4) и получим решение рассматриваемой задачи Коши, т.е. частное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , , в виде: .

Пример 5.8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно неизвестную функцию у. Поэтому следует воспользоваться подстановкой (5.16): , , тогда исходное уравнение примет вид .

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно р. Найдем его решение методом вариации произвольной постоянной, полагая , откуда разделив переменные, получим , затем после интегрирования найдем .

Предположим, что в полученном решении произвольная постоянная С является неизвестной функцией от переменной х, т.е. .              

Решение (5.5) подставим в неоднородное дифференциальное уравнение, для чего вначале найдем производную . В результате получим равенство  или после преобразований имеем .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделив которые получим: , откуда имеем . Поставив полученное решение в формулу (5.5), найдем общее решение линейного дифференциального уравнения .

Возвращаясь к искомой функции у, получим , откуда имеем . Тогда общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка будет иметь вид .

Пример 5.9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно неизвестную функцию у. Поэтому следует воспользоваться подстановкой

(5.16): , , тогда исходное уравнение примет вид .

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка c разделяющимися переменными, разделив которые получим . После интегрирования найдем ,  или .

Возвращаясь к искомой функции у, получим , откуда

имеем . Тогда общее решение данного дифференциального

уравнения второго порядка будет иметь вид: .

5.5. Дифференциальные уравнения второго порядка .

Дифференциальное уравнение второго порядка

,                                        (5.17)

которое не содержит явно переменную х, с помощью подстановки

,  ,                                  (5.18)

сводится к уравнению первого порядка  относительно функции р, зависящей от переменной у.

Его общее решение можно получить в виде  или , а значит после разделения переменных . Интегрируя последнее равенство, получим общий интеграл дифференциального уравнения (5.17) .

    Пример 5.10. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит явно переменную х. Решим его с помощью подстановки (5.16): , . Тогда исходное уравнение примет вид  и будет являться дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, разделив которые получим . Затем после интегрирования имеем .

После возвращения к переменной у, получим вновь дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: .

Разделив переменные, получим , откуда найдем . Это и будет общий интеграл данного дифференциального уравнения второго порядка.

 

    Пример 5.11. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит явно переменную х. Решим его с помощью подстановки (5.16): , . Тогда исходное уравнение примет вид  и будет являться дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, разделив которые получим . Затем после интегрирования имеем . После возвращения к переменной у, получим вновь дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: .

Разделив переменные, получим , откуда найдем   или . Это и будет общий интеграл данного дифференциального уравнения второго порядка.