Лекция 4. Интегральное исчисление

П лан:

4.1. Основные понятия. Таблица интегралов

4.2. Метод замены переменной

4.3. Метод интегрирования по частям

4.4. Определенный интеграл. Его свойства

4.5. Несобственный интеграл с бесконечными пределами

4.6. Несобственный интеграл от разрывных функций

Основные понятия. Таблица интегралов

Функция  называется первообразной для функции  на отрезке  если во всех точках этого отрезка выполняется равенство Операция нахождения первообразных для функции  называется интегрированием.

 

Функция  представляет собой общий вид всего множества первообразных для функции f (x) на отрезке  и называется неопределенным интегралом от функции f (x) на отрезке  и обозначается:

 

(4.1)

 

Теорема Коши.

Для существования неопределенного интеграла для функции  на данном отрезке достаточно, чтобы  была непрерывной на этом отрезке.

 

 

Свойства неопределенного интеграла

	(4.2)
	(4.3)
	(4.4)
	(4.5)
	(4.6)
	(4.7)

Теорема инвариантности.

Всякая формула интегрированиясохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменнойнекоторой функции , что дифференцируется, то есть если

Таблица основных интегралов

Метод непосредственного интегрирования

Метод основывается на использовании основных свойств неопределенного интеграла и проведении тождественных преобразований подынтегральной функции с целью получения табличных интегралов.

Пример 4.1. Найти интеграл

Решение.

Пример 4.2. Найти интеграл

Решение. Отнимем и добавим в числителе подынтегральной функции число 4:

Пример 4.3. Найти интеграл

Решение.

Метод замены переменной

Если функция  интегрируется, а  имеет непрерывную производную, то интеграл  можно найти, сделав замену переменной, то есть:

(4.8)

 

где

Пример 4.4. Найти интеграл

Решение.

Пример 4.5. Найти интеграл

Решение.

Метод интегрирования по частям

Теорема.

Если функции U (x) и V (x) имеют непрерывные производные, то:

 

(4.9)

Основные типы интегралов, интегрируемых по частям:

Типы подынтегральных функций:

	Рекомендуется вводить обозначения:  – все остальное.
	Рекомендуется вводить обозначения:  – соответствующая функция.
	За  можно принять любую из функций, но необходимо будет интегрировать дважды по частям.

Пример 4.6. Найти интеграл

Решение.

Пример 4.7. Найти интеграл

Решение.

        

Пример 4.8. Найти интеграл

Решение.

Приравняем начальное и конечное выражения:

.

Приведем подобные элементы, собрав их в левой части:

.

Получим: .

 

Определенный интеграл. Его свойства

 

Теорема (Ньютона—Лейбница).

Если функция  — непрерывна на  то определенный интеграл от функции  на отрезке  равен изменению первообразной функции  на этом отрезке, то есть