Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная параметрически заданной функции
Функция от задана параметрическими уравнениями: , тогда производная равна:
Пример 3.4. Найти производную функции , если она задана в параметрическом виде: Решение. Функция задана параметрически, тогда по формулам параметрического дифференцирования (8) имеем: Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной положительной функции есть производная от логарифма данной функции. Пример 3.5. Найти производную функции Решение. Используем к данной функции логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем обе части уравнения: Дифференцируем обе части уравнения: Пример 3.6. Найти производную функции Решение. Логарифмируем обе части уравнения, получим:
Дифференцируем обе части уравнения: Производная функции старших порядков
Пример 3.7. Найти производные функции . Решение. Имеем: , .
Пример 3.8. Найти дифференциал dy функции: Решение. , тогда . Пример 9. Найти предел: Решение. Используем правило Лопиталя: (использование предельного перехода приводит к неопределенности вида , а поэтому используем правило Лопиталя повторно): . Основные понятия 1. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого интервала , то функция возрастает на этом интервале. 2. Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри интервала , то функция убывает на этом интервале.
Достаточные условия экстремума функции.
Аналогичное утверждение можно сформулировать о наименьшем значении функции: оно достигается на одно из концов данного промежутка или в такой внутренней точке, которая есть минимумом.
, если , .
Исследование функции План исследования функций 1. Найти область определения функции. 2. Проверить четность (нечетность) и периодичность функции. 3. Найти точки разрыва функции и определить их вид. 4. Определить точки пересечения функции с осями координат. 5. Найти точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции. 6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости функции. 7. Найти асимптоты. 8. Построить график. Пример 3.10. Исследовать на экстремум функцию Решение. Область определения функции: Найдем производную функции и ее стационарные точки: Используем необходимое условие экстремума функции:
Критическая точка Рассмотрим интервалы и исследуем знак слева и справа от каждой критической точки. Результаты занесем в таблицу 2.
Таблица 3.1. – Исследование функции с помощью первой производной
Из таблицы 3.1 видно, что в точке функция имеет максимум. Пример 3.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Решение. Находим производную и критические точки функции: Критическая точка не принадлежит заданному отрезку, то есть Вычислим значение функции в критических точках – и на концах отрезка – : Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке наименьшее Пример 3.12. Найти асимптоты графика функции Решение. Функция определена при всех значениях за исключением значения Поскольку при знаменатель дроби равен нулю, то в точке функция имеет разрыв второго рода. То есть, прямая является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот график не имеет, так как Найдем наклонную асимптоту: Следовательно,
Пример 3.13. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. 1. Находим область определения функции. ОДЗ: . Функция существует при всех значениях за исключением значения . 2. Функция общего вида, не периодическая. Поскольку , значит, функция не является четной и , значит не является нечетной, таким образом, функция - функция общего вида. 3. Точка является точкой разрыва функции. Исследуем ее характер: .
То есть, точка – точка разрыва второго рода. 4. Находим точки перегиба графика функции с осями координат: с осью Ох: с осью Оу: 5. Находим точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции, результаты заносим в таблицу: – критическая точка. При первая производная функции не существует, но в этой точке сама функция тоже не существует. Исследуем критические точки на экстремум:
Таблица 3.2 – Исследование функции с помощью второй производной
Проходя через точку функция имеет минимум: . Функция убывает при Функция возрастает при 6. Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости находим из второй производной: При вторая производная функции не существует, но в этой точке не существует и сама функция. Исследуем точку и найдем значение слева и справа от этой точки. Результаты исследования заносим в таблицу 3.3.
Таблица 3.3 – Исследование функцию с помощью второй производной
Вторая производная, проходя через , изменяет знак. Найдем ее ординату: . Таким образом, – точка перегиба. График функции вогнутый при . График функции выпуклый при 7. Прямая – вертикальная асимптота. Так как то наклонных асимптот нет. 8. Строим график функции.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 81; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.16.254 (0.073 с.) |