Методы решения линейных уравнений

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными :

(1.17)

Чтобы решить систему (1.17), из коэффициентов при неизвестных и свободных членов составим определители третьего порядков .

Определитель (D), составленный из коэффициентов при неизвестных называется главным определителем системы и имеет вид:

(1.18)

Определители  образовываются из определителя  (1.17) соответственно заменою первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

 

При решении системы уравнений (1.17) могут быть три случая:

1.  тогда система (1.17) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера (1.19):

(1.19) 2. Если  и хотя бы один из определителей  не равен нулю, то система (1.17) не имеет решений.

3. Если  то система (1.17) имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1.11. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

         

Решение.

а) Находим определители системы :

По формулам Крамера (1.19) имеем:

, ,

Находим определитель системы

 (согласно свойству определителей 2).

Возьмем второе и третье уравнение системы:

Эти уравнения содержат отличный от нуля минор второго порядка:

Имеем ; ; ,

где  - произвольное действительное число.

Система имеет бесчисленное множество решений: , , .

Метод обратной матрицы

Задана система, содержащая  линейных уравнений с  неизвестными.

(1.20)

Введем матрицы: ;   ;  .

Матрицу , составленную из коэффициентов системы (1.20), называют основной матрицей, матрицу-столбец  – матрицею неизвестных, а матрицу-столбец  – матрицею свободных членов. Согласно правилу умножения двух матриц, систему (1.20) можно записать одним матричным уравнением с неизвестной матрицей :

(1.21)

Допустим, что матрица  имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (1.21) на  слева: . Поскольку  и , то матричная запись решения системы имеет вид:

(1.22)

Замечание. Решение системы уравнений в матричной форме возможно только тогда, когда матрица системы квадратная и невырожденная.

Пример 1.12. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение. Имеем ;  ;         

Найдем определитель матрицы :

Найдем обратную матрицу  к матрице  Для этого выпишем алгебраические дополнения к матрице  по формуле (1.14):

По формуле (1.15) обратная матрица имеет вид:

.

По формуле (1.22) находим решение системы линейных уравнений:

.

То есть, , , .

Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестных. С помощью элементарных преобразований систему уравнений приводят к треугольному виду, из которой последовательно находят все переменные. При решении системы линейных уравнений удобнее приводить к треугольному виду расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную присоединением к матрице коэффициентов столбец свободных членов.

 

Пример 1.13. Решить системы линейных уравнений методом Гауcса:

   

Решение. Выполним элементарные преобразования над строками расширенной матрицы данной системы:

 ~  ~  ~

~ ~ .

Таким образом, получим систему линейных уравнений:

Которая имеет единственное решение:

 Имеем:

 

 ~  ~ .

Отсюда система линейных уравнений имеет вид:

В последнем уравнении свободный член равен двум, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, то есть система несовместна.