Лекция 1. Элементы линейной алгебры

И.В. Гречина

 

МАТЕМАТИКА

 

 

 

 

(ЭЛЕКТРОННЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ (КРАТКИЙ))

 

Донецк 2019

ГО ВПО «ДонНУЭТ»

 

СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ. 5

Смысловой модуль І

1.3. Системы линейных уравнений. 13

1.4. Методы решения линейных уравнений.. 13

Лекция 2. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. 18

2.1. Функции. 18

2.2. Предел числовой последовательности и функции. 19

2.3. Раскрытие неопределенностей. 20

2.4. Замечательные пределы. 22

2.5. Непрерывность функции. 23

Лекция 3. дифференциальное исчисление. 25

3.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. 25

3.2. Производная сложной функции. 26

3.3. Производная неявной функции. 27

3.4. Производная параметрически заданной функции. 27

3.5. Логарифмическое дифференцирование. 28

3.6. Производная функции старших порядков. 29

3.7. Основные понятия. 30

3.8. Исследование функции. 32

Лекция 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 36

4.1. Основные понятия. Таблица интегралов. 36

4.2. Метод замены переменной. 37

4.3. Метод интегрирования по частям. 38

4.4. Определенный интеграл. Его свойства. 40

4.5. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. 41

4.6. Несобственный интеграл от разрывных функций. 42

Смысловой модуль ІІ 44

Дифференциальные уравнения. Ряды. Основы теории вероятности и математической статистики. 44

Лекция 5. Дифференциальные уравнения.. 44

5.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 44

5.2. Дифференциальные уравнения I порядка однородные. 46

5.3. Дифференциальные уравнения I порядка линейные. 47

5.4. Основные понятия дифференциальных уравнений второго порядка 48

5.5. Дифференциальные уравнения второго порядка . 49

5.5. Дифференциальные уравнения второго порядка . 51

5.7. Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. 52

ТЕМА 6. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

6.1. Основные понятия.

6.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.

6.3. Достаточные условия сходимости числового ряда.

6.4. Знакопеременные ряды.

6.5. Признак Лейбница.

6.6. Степенные ряды.

ЛЕКЦИЯ 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

7.1. Основные понятия теории вероятностей.

7.2. Теоремы сложения.

7.3. Теоремы умножения.

7.4. Формула полной вероятности.

7.5. Формулы Бейеса. Ошибка! Закладка не определена.

Тема 8. Повторные НЕЗАВИСИМЫЕ испытания.. Ошибка! Закладка не определена.

8.1. Формула Бернулли. Ошибка! Закладка не определена.

8.2. Формула Пуассона. Ошибка! Закладка не определена.

8.3. Локальная теорема Лапласа. Ошибка! Закладка не определена.

8.4. Интегральная теорема Лапласа. Ошибка! Закладка не определена.

Тема 9. Случайные величины и их характеристики.. Ошибка! Закладка не определена.

9.1. Понятие случайной величины. Ошибка! Закладка не определена.

9.2. Функция распределения и плотность распределения. Ошибка! Закладка не определена.

9.3. Числовые характеристики случайных величин. Ошибка! Закладка не определена.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 55

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 59

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Ошибка! Закладка не определена.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Ошибка! Закладка не определена.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА..

 

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

План:

1.1. Матрицы

1.2. Определители

1.3. Системы линейных уравнений

1.4. Методы решения линейных уравнений

 

Матрицы

 

Матрицей размерности  называется прямоугольная таблица чисел (элементов матрицы), содержащая  строк и  столбцов:

 

(1.1)

Виды матриц:

1. Квадратная матрица – матрица, у которой число строк равно числу столбцов. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком:

 

(1.2)

Символы  – э лементы матрицы: первый индекс  показывает номер строки, второй индекс  – номер столбца на пересечении которых расположен данный элемент.

Элементы  квадратной матрицы образуют главную диагональ, а элементы   – побочную диагональ.

2. Матрица-столбец – матрица, имеющая один столбец:

 

(1.3)

 

3. Матрица-строка – матрица, имеющая одну строку:

 

	(1.4)

 

4. Диагональная матрица – это квадратичная матрица, у которой все элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю:

 

	(1.5)

 

5. Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице:

 

(1.6)

 

6. Треугольной матрицей – называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

 

(1.7)

Треугольная матрица сверху      Треугольная матрица снизу

 

7. Две матрицы  и  одинаковой размерности называются равными, если равны их соответствующие элементы .

 

8. Транспонированная матрица – это матрица у которой строки поменяны местами со столбцами.

 

Свойства операции транспонирования:

	(1.8)
	(1.9)
	(1.10)
	(1.11)

Например:

, тогда ; .

Действия над матрицами:

1. Суммой (или разностью) двух матриц  и  одинаковой размерности называется матрица  такой же размерности, элементы которой равны

Пример 1.1. Найти сумму матриц

Решение. Так как матрицы  и  одинаковой размерности, то:

2. Произведением матрицы  на число  есть матрица  такой же размерности, элементы которой равны

Пример 1.2. Найти произведение матрицы  на число .

Решение.

3. Произведением матрицы  размерности   на матрицу  размерности  есть матрица , размерности , элементы которой находятся по формуле  (то есть элемент , расположенный в і -й строке и j -м столбце матрицы , равен сумме произведений элементов -й строки матрицы  на соответствующие элементы j -го столбца матрицы ).

Замечание. Операция умножения двух матриц возможна, если количество столбцов первой матрицы  равно количеству строк второй матрицы . При умножении матриц нельзя менять местами множители, то есть

Замечание.

Пример 1.3. Найти произведение матриц

Решение. Количество столбцов матрицы  равно количеству строк матрицы

Пример 1.4. Найти произведение двух матриц

Решение. Количество столбцов матрицы  равно количеству строк матрицы , тогда:

Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Прямоугольная матрица определителя не имеет.

В матрице  размерности  путем вычеркиванием некоторых строк и столбцов можно выделить квадратную матрицу -го порядка, где . Определители таких матриц называются минорами -го порядка матрицы .

 

Определители

Определителем порядка  - называется число или алгебраическое выражение, записанное в виде алгебраических выражений, содержащее  строк и  столбцов.

 

Определителем второго порядка называется выражение, имеющее вид:

 

(1.12)

 

Определителем третьего порядка называется выражение, имеющее вид:

 

(1.13)

Основные свойства определителей:

1. Значение определителя не изменится, если все его строки заменить соответствующими столбцами (столбцы при этом заменяются соответствующими строками).

2. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец) равен нулю.

3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак.

5. Общий множитель элементов некоторого столбца (строки) можно вынести за знак определителя.

6. Для умножения определителя  – го порядка на число, достаточно все элементы некоторого столбца (стоки), умножить на это число.

7. Определитель не меняется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на это число.

8. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (столбцы), равен нулю.

9. Если в определителе некоторая (например, і -й) строка является суммой двух слагаемых, то этот определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все строки, кроме і -й, будут такие же, как в данном определителе, а і -я строка первого определителя состоит из первого слагаемого і -й строки исходного определителя, а і -я строка второго определителя состоит из второго слагаемого і -й строки исходного определителя.

Минором  элемента  определителя  – го порядка называется определитель – го порядка, образованный из исходного определителя в результате вычеркивания й строки и  столбца, содержащих элемент .

Например, минором элемента  есть определитель , получаемый из определителя (1.13), вычеркиванием в нем первой строки и второго столбца.

 

Алгебраическим дополнением  элемента  определителя третьего порядка называют его минор , взятый со знаком , то есть:

 

(1.14)

На практике, определители 3-го и старше порядков находятся по теореме Лапласа разложением по элементам строки (столбца).

Теорема Лапласа.

Каждый определитель можно представить как сумму произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя (1.13) по элементам второго столбца имеет вид:

 

де

 

Определитель третьего порядка можно находить по правилу треугольника или правилу Саррюса (рис. 1.1).

=   +   +   -   -   - .

Рисунок 1.1 – Правило треугольников

 

Можно воспользоваться правилом дописывания двух столбцов для вычисления определителя 3-го порядка (рис. 1.2) по алгоритму:

1. Дописывают к определителю с правой стороны два первых его столбца.

2. Начиная с левого верхнего угла перемножают все элементы, расположенные вдоль главной диагонали определителя и складывают с аналогичными произведениями всех элементов, которые находятся на двух других диагоналях, параллельных главной.

3. Аналогично перемножают все элементы, которые расположены на диагоналях, параллельных побочной, начиная с верхнего правого угла дополненного «определителя», и три полученных произведения вычитают из предыдущей суммы.

=   -

Рисунок 1.2 – Правило дописывания двух столбцов

 

Пример 1.5. Вычислить определитель:

   .

Решение. Используем формулу (1.12):

Используем правило треугольников (рисунок 1.1):

Пример 1.6. Решить уравнение

Решение. Вычислим определитель по правилу Саррюса (рис. 1.1):

 

Пример 1.7. Вычислить определитель по теореме Лапласа:

Решение. Разложим определитель по элементам первой строки:

, тогда

Пример 1.8. Нераскрываяопределитель, доказать равенство:

Доказательство. Добавим к элементам первого столбца соответствующие элементы третьего столбца (согласно свойству определителей 7), получим:

.

Этот определитель равен нулю, согласно свойству определителей 3.

Пример 1.9. Доказать, что определитель равен нулю:

Доказательство. Используем свойства определителей. Элементы четвертого столбца определителя совпадают с элементами первого столбца, умноженными на 2. Из свойства определителей 8 следует, что определитель равен нулю.

 

Матрица   называется обратной к квадратичной матрице , если выполняется условие: , где   – единичная матрица.

 

Квадратная матрица  называется вырожденной, если ее определитель равен нулю () и невырожденной, если .

 

 

Теорема.	Для существования обратной матрицы  необходимо и достаточно, чтобы матрица  была невырожденной.
Обратная матрица находится по формуле:

 

(1.15)

где  – алгебраические дополнения элементов  определителя матрицы .

Пример 1.10. Найти обратную матрицу к матрицам:

,     

Решение.   Находим определитель матрицы  то есть матрица невырожденная. Обратную матрицу находим по формуле (1.15). Для этого вычислим алгебраические дополнения по формуле (1.14):

 

Запишем обратную матрицу:

Сделаем проверку:

b) Находим определитель матрицы  матрица невырожденная. Вычислим алгебраические дополнения по формуле (1.14):

Запишем обратную матрицу по формуле (1.15):

Системы линейных уравнений

Системою m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

(1.16)

где  – коэффициенты,   – свободные члены,   – неизвестные, .

 

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченнаясовокупность n чисел (x1, x2, …, xn), которые при подстановке в систему (1.16) как неизвестные, преобразовывают все уравнения в тождества.

 

Система уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю, и неоднородною – если хотя бы один из них отличен от нуля.

 

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – если она не имеет ни одного решения.

 

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной – если она имеет бесконечное множество решений.

 

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

 

Метод обратной матрицы

Задана система, содержащая  линейных уравнений с  неизвестными.

(1.20)

Введем матрицы: ;   ;  .

Матрицу , составленную из коэффициентов системы (1.20), называют основной матрицей, матрицу-столбец  – матрицею неизвестных, а матрицу-столбец  – матрицею свободных членов. Согласно правилу умножения двух матриц, систему (1.20) можно записать одним матричным уравнением с неизвестной матрицей :

(1.21)

Допустим, что матрица  имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (1.21) на  слева: . Поскольку  и , то матричная запись решения системы имеет вид:

(1.22)

Замечание. Решение системы уравнений в матричной форме возможно только тогда, когда матрица системы квадратная и невырожденная.

Пример 1.12. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение. Имеем ;  ;         

Найдем определитель матрицы :

Найдем обратную матрицу  к матрице  Для этого выпишем алгебраические дополнения к матрице  по формуле (1.14):

По формуле (1.15) обратная матрица имеет вид:

.

По формуле (1.22) находим решение системы линейных уравнений:

.

То есть, , , .

Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестных. С помощью элементарных преобразований систему уравнений приводят к треугольному виду, из которой последовательно находят все переменные. При решении системы линейных уравнений удобнее приводить к треугольному виду расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную присоединением к матрице коэффициентов столбец свободных членов.

 

Пример 1.13. Решить системы линейных уравнений методом Гауcса:

   

Решение. Выполним элементарные преобразования над строками расширенной матрицы данной системы:

 ~  ~  ~

~ ~ .

Таким образом, получим систему линейных уравнений:

Которая имеет единственное решение:

 Имеем:

 

 ~  ~ .

Отсюда система линейных уравнений имеет вид:

В последнем уравнении свободный член равен двум, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, то есть система несовместна.

 

Функции

Зависимость переменной  от переменной  называется функцией, если каждому значению  соответствует единственное значение .

 

Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент (переменная ).

 

Область значений функции – это все значения, которые может принимать функция (переменная ) при всех  из области определения функции.

Пример 2.1. Найти область определения функций:

Решение.

 Выражение под знаком логарифма всегда положительно, поэтому >0. Тогда область определения функции имеет вид

 Функция  определена, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть  или . Тогда .

Функция  определена, если ее знаменатель не равен нулю, то есть  или   Тогда .

Пример 2.2. Найти область определения функции:

Решение.

Первое слагаемое  принимает действительные значения при , а другое при  Решив полученные неравенства одновременно, получим область значений функции

Функция  определенная на множестве  называется четной, если для любого  выполняется равенство

Аналогично функция  называется нечетной, если

 

Примеры четных функций:  

Примеры нечетных функций:

Существуют функции общего вида (например, ).

Раскрытие неопределенностей

Неопределенность вида

(2.7)

Пример 2.3. Найти предел

Решение.

Пример 2.4. Найти предел

Решение.

Пример 2.5. Найти предел

Решение.

Пример 2.6. Найти предел

Решение.

Пример 2.7. Найти предел

Решение.

Неопределенность вида

Для рациональных функций неопределенность этого вида раскрывают выделением в числителе и знаменателе двухчлена   последующим сокращением на него и вычислением предела.

Для иррациональных функций – необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное выражение для иррационального, выполнить преобразования и вычислить предел.

Пример 2.8. Найти предел

Решение. Раскладываем на множители по формуле сокращенного умножения числитель и сокращаем дробь:

 

Пример 2.9.  Найти предел

Решение.

Числитель и знаменатель умножим на сопряженное выражение к числителю, затем свернем формулу сокращенного умножения в числителе и выполним преобразования:

Пример 2.10.  Найти предел

Решение. Выделим критический множитель из числителя и знамена теля, выполнив потом сокращение дроби: