Лекция 2. Пределы. Непрерывность функции.

П лан:

2.1. Функции

2.2. Предел числовой последовательности и функции

2.3. Раскрытие неопределенностей

2.4. Замечательные пределы

2.5. Непрерывность функции

 

Функции

Зависимость переменной  от переменной  называется функцией, если каждому значению  соответствует единственное значение .

 

Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент (переменная ).

 

Область значений функции – это все значения, которые может принимать функция (переменная ) при всех  из области определения функции.

Пример 2.1. Найти область определения функций:

Решение.

 Выражение под знаком логарифма всегда положительно, поэтому >0. Тогда область определения функции имеет вид

 Функция  определена, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть  или . Тогда .

Функция  определена, если ее знаменатель не равен нулю, то есть  или   Тогда .

Пример 2.2. Найти область определения функции:

Решение.

Первое слагаемое  принимает действительные значения при , а другое при  Решив полученные неравенства одновременно, получим область значений функции

Функция  определенная на множестве  называется четной, если для любого  выполняется равенство

Аналогично функция  называется нечетной, если

 

Примеры четных функций:  

Примеры нечетных функций:

Существуют функции общего вида (например, ).

Предел числовой последовательности и функции

Последовательность по определению есть функция, то есть предел последовательности — отдельный случай предела функции. Наоборот, в некотором смысле предел функции может быть сведен к пределу последовательности. Поэтому теоремы о пределах последовательностей также выполняются для пределов функций.

 

Число  называется пределом функции  при , если для любого малого положительного числа  найдется такое число  что для всех  выполняется неравенство:

 

(2.1)

Это записывают так:

Функция  называется бесконечно-малой, если

 

(2.2)

 

Функция  называется бесконечно-большой, если

 

(2.3)

Теорема. Связь между бесконечно-малыми и бесконечно-большими функциями.

Если функция  есть бесконечно-большая, то функция  будет бесконечно-малой.

Предельный переход при арифметических операциях

Теорема.

Если существуют пределы , то: (2.4) (2.5) (2.6)

Раскрытие неопределенностей

Неопределенность вида

(2.7)

Пример 2.3. Найти предел

Решение.

Пример 2.4. Найти предел

Решение.

Пример 2.5. Найти предел

Решение.

Пример 2.6. Найти предел

Решение.

Пример 2.7. Найти предел

Решение.

Неопределенность вида

Для рациональных функций неопределенность этого вида раскрывают выделением в числителе и знаменателе двухчлена   последующим сокращением на него и вычислением предела.

Для иррациональных функций – необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное выражение для иррационального, выполнить преобразования и вычислить предел.

Пример 2.8. Найти предел

Решение. Раскладываем на множители по формуле сокращенного умножения числитель и сокращаем дробь:

 

Пример 2.9.  Найти предел

Решение.

Числитель и знаменатель умножим на сопряженное выражение к числителю, затем свернем формулу сокращенного умножения в числителе и выполним преобразования:

Пример 2.10.  Найти предел

Решение. Выделим критический множитель из числителя и знамена теля, выполнив потом сокращение дроби:

 

Неопределенность вида

Раскрывают умножением и делением выражения под знаком предела на сопряженное, в результате чего можно осуществить предельный переход выражения по правилам предельного перехода при .

Пример 2.12. Найти предел

Решение.

Умножаем и делим под знаком предела на сопряженное, затем применяем формулу сокращенного умножения и выполняем преобразования:

Пример 2.13. Найти предел

Решение.

Приведем к общему знаменателю две дроби, выполним преобразование в полученной дроби и вычислим предел:

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

(2.8)

Следствия первого замечательного предела:

Второй замечательный предел:

(2.9)

                    Следствия второго замечательного предела:

Пример 2.14. Найти предел

Решение. Используем следствия из первого замечательного предела, получим:

Пример 2.15. Найти предел  

Решение. Используем следствия из первого замечательного предела, получим:

Пример 2.16. Найти предел

Решение. Выполним преобразования для выделения единицы, а затем используем второй замечательный предел.

Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке    х = х₀ если:

1) она определена в точке х₀, т.е. существует f(x₀);

2) существует предел функции при х стремящемся к х₀;

3) этот предел равен значению функции в точке х₀.

 

Функция f(x0)   непрерывна в точке    х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

 

Функцию,  непрерывную в каждой точке некоторой области, называют непрерывной в этой области.

Точка розрыва функции – это точка , в которой нарушается хотя бы одно из условий равенства:

 

	(2.10)

 

Точка разрыва  функции  называется точкою разрыва первого рода, если функция в этой точке имеет конечные односторонние пределы. В общем виде они разные.

 

(2.11)

 

Точка разрыва первого рода  называется точкой устраненного разрыва функции , если односторонние пределы функции равны:

 

(2.12)

Точкой розрыва второго рода называется точка  для функции  если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа).

 

(2.13)

Пример 2.17. Проверить на непрерывность функции:

Решение.

 Находим  Функция при  не имеет ни правого ни левого конечного предела. Отсюда,  является точкой разрыва второго рода по условию (4.6).

 Если  то  

Если  то

При  функция имеет разные односторонние пределы. Причем, по условию (4.4),  является точкой разрыва первого рода.

 В точке  функция имеет неопределенность вида  В других точках дробь сокращается на  поскольку  Отсюда, при  Легко показать, что  Таким образом, по условию (4.5), при х =5 функция имеет устраненный разрыв. Его можно устранить, если считать, что при

1. Шипачев В. С. Высшая математика: рекоменд. М-вом образования и науки РФ учебник для студ. высш. учеб. завед. / В. С. Шипачев; М-во образования и науки РФ. – Москва: Высш. шк., 2010. – 479 с.