Виды фильтров пространственной обработки изображений

В общем случае схему искажения и восстановления (фильтрации) изображений можно представить в виде, изображенном на рисунке 2.1.

 

Рисунок 2.1 - Схема искажения и восстановления изображений

 

Целью восстановления искаженного изображения  является получение из него при помощи некоторой обработки изображения , которое было бы близко к исходному изображению  по заданному критерию. Получающееся в результате обработки изображение  называется оценкой исходного (идеального) изображения .

Тогда ошибка оценивания в каждой точке изображения определяется выражением:

 

,

 

а средняя квадратичная ошибка (СКО) - через ее квадрат, то есть дисперсию ошибки:

 

.

Критерий минимума квадрата СКО () является наиболее универсальным и распространенным на практике критерием качества восстановления при проектировании алгоритмов фильтрации изображений. Однако, этот критерий имеет недостаток, заключающийся в том, что он не всегда согласуется с субъективным критерием качества.

Указанный критерий является конструктивным и позволяет теоретически рассчитывать оптимальные (дающие минимум квадрата СКО) алгоритмы фильтрации при рассмотренной модели наблюдения изображения . Однако оптимальные алгоритмы оказываются сложными для расчета и реализации. Поэтому в автоматизированных системах обработки изображений предпочтение отдается так называемым квазиоптимальным алгоритмам, которые дают минимум квадрата СКО в некотором классе алгоритмов с заданной структурой и незначительно отличаются от оптимальных по этому критерию.

Еще одним широко распространенным на практике критерием эффективности обработки изображений является связанный с рассмотренным критерий максимума пикового отношения сигнал-шум (ПОСШ) [25]:

 

.

 

Фильтры, основанные на порядковых статистиках

Фильтры, основанные на порядковых статистиках, относятся к классу нелинейных пространственных фильтров. Отклик такого фильтра определяется предварительным упорядочиванием (ранжированием) значений пикселей, покрываемых маской фильтра, и последующим выбором значения, находящегося на определенной позиции упорядоченной последовательности (то есть имеющего определенный ранг). Собственно фильтрация сводится к замещению исходного значения пикселя (в центре маски) на полученное значение отклика фильтра. Наиболее известен медианный фильтр, который, как следует из названия, заменяет значение пикселя на значение медианы распределения яркостей всех пикселей в окрестности (включая и исходный) [22].

 

.

 

Чтобы выполнить медианную фильтрацию для элемента изображения, необходимо сначала упорядочить по возрастанию значения пикселей внутри окрестности, затем найти значение медианы, и, наконец, присвоить полученное значение обрабатываемому элементу. Так, для окрестности  элементов медианой будет пятое значение по величине, для окрестности  - тринадцатое значение, и так далее. Если несколько элементов в окрестности имеют одинаковые значения, эти значения будут сгруппированы.

Необходимо отметить, что дисперсия медианы белого шума на выходе медианного фильтра определяется выражением [24]:

 

 

где  - размер апертуры.

Равенство (2.1-6) показывает также, что для нормального белого шума дисперсия медианы приблизительно на  больше, чем дисперсия для среднего. Следовательно, скользящее усреднение подавляет нормальный белый шум несколько лучше, чем медианный фильтр с такой же апертурой. Иначе говоря, чтобы медианный фильтр давал ту же дисперсию шума, что и скользящее усреднение в его апертуре должно быть на 57% больше точек [22].

Характерной особенностью медианного фильтра, отличающей его от рассмотренных выше фильтров, является сохранение перепадов яркости (контуров) без искажений. При этом если перепады яркости велики по сравнению с дисперсией аддитивного белого шума, то медианный фильтр дает меньшее значение СКО по сравнению с оптимальным линейным фильтром [22].

Особенно эффективны медианные фильтры при фильтрации импульсных шумов, которые выглядят как наложение на изображение случайных черных и белых точек (с соответствующими вероятностями  и ) [22].

Можно сказать, что основная функция медианного фильтра заключается в замене отличающегося от фона значения пикселя на другое, более близкое его соседям. На самом деле, изолированные темные или светлые (по сравнению с окружающим фоном) кластеры, имеющие площадь не более чем  (половина площади маски фильтра), будут удалены медианным фильтром с маской размерами . В данном случае «удалены» означает, что значения пикселей в соответствующих точках будут заменены на значения медиан по окрестностям. Кластеры больших размеров искажаются значительно меньше [22].

Хотя медианный фильтр значительно более распространен в обработке изображений, чем остальные виды фильтров, основанные на порядковых статистиках, тем не менее, он не является единственным. Медиана представляет собой 50-й процентиль упорядоченного набора чисел, но, как следует из основ статистики, упорядочивание предоставляет много других возможностей. Например, использование 100-го процентиля приводит к так называемому фильтру максимума,который полезен при поиске на изображении наиболее ярких точек по отношению к окружающему фону. Процентиль 0 является фильтром минимума,используемым для поиска противоположных значений [22].

В работе [24] был предложен псевдомедианный фильтр, который обладает многими свойствами медианного фильтра, но требует меньших вычислительных затрат с увеличением размера апертуры.

 

,

 

где  - оператор псевдомедианной фильтрации, действующий следующим образом. Пусть  - последовательность элементов , тогда псевдомедиана такой последовательности определяется так:

 

,

,

,

.

 

Медианные фильтры хорошо работают до тех пор, пока пространственная плотность импульсного шума невелика (эмпирическое правило -   и  не превышают 0.2). Модифицированная медианная фильтрация [22] помогает справиться с импульсным шумом, вероятности которого превышают указанные значения. Дополнительное преимущество такого модифицированного медианного фильтра состоит в том, что такой фильтр «старается сохранить детали» в областях, искаженных не импульсным шумом. Обычный медианный фильтр таким свойством не обладает.

Подобно всем рассмотренным до сих пор фильтрам, модифицированный медианный фильтр осуществляет обработку в прямоугольной окрестности  [22] в соответствии с приведенными ниже условиями.

Алгоритм модифицированной медианной фильтрации состоит из двух ветвей, обозначенных ниже как ветвь А и ветвь Б, и его действие заключается в следующем.

 

Ветвь А: если , перейти к ветви Б;

иначе результат равен .

Ветвь Б: если , результат равен ;

иначе результат равен ,

 

где  - минимальное значение яркости в ,  - максимальное значение яркости в ,  - медиана значений яркости в ,  - значение яркости в точке .

Значения  и  воспринимаются алгоритмом статистически как значения «импульсных» составляющих шума, даже если они не равны наименьшему и наибольшему возможным значениям яркости на изображении [25].

С учетом этого, ветвь А алгоритма преследует цель определить, является ли медиана  импульсом («черным» или «белым») или нет. Если условие выполнено , то в силу указанных в предыдущем абзаце причин  не может быть импульсом. В этом случае осуществляется переход к ветви Б и проверяется, является ли импульсом значение  в тойточке, которая отвечает центру апертуры (отклик фильтра строится в этой точке). Если условие  выполнено, то значение  не является импульсом по тем же причинам, что и выше. В этом случае алгоритм дает на выходе неизмененное значение .

Сохранение значений в таких точках «промежуточного уровня» яркости минимизирует искажения, вносимые обработкой изображения. Если условие  нарушено, то либо , либо . В обоих случаях значение является экстремальным, и алгоритм дает на выходе значение медианы  которое, как следует из результатов работы ветви А, не является значением импульсного шума. Последняя операция соответствует действию обычного медианного фильтра. Отличие заключается в том, что обычный медианный фильтр заменяет значение в каждой точке на значение медианы по соответствующей окрестности. Это приводит к излишним искажениям деталей на изображении [25].

После получения значения обрабатываемого элемента изображения, центр окрестности смещается в позицию следующего элемента. Алгоритм инициализируется вновь и применяется к пикселям внутри окрестности , находящейся в новом положении.

·   Фильтры, основанные на выборе максимального и минимального

значений.

Хотя медианные фильтры, безусловно, принадлежат к числу наиболее используемых в обработке изображений фильтров, основанных на порядковых статистиках, это отнюдь не единственный пример таких фильтров. Медиана представляет собой 50-ый процентиль упорядоченного набора чисел, однако использование иных статистических характеристик представляет много других возможностей. Например, использование 0-го процентиля приводит к фильтру, основанному на выборе минимального значения (минимальному фильтру), который задается выражением:

.

 

Такой фильтр полезен при обнаружении наиболее темных точек на изображении. Кроме того, применение этого фильтра приводит к уменьшению униполярного «белого» импульсного шума вследствии операции выбора минимума.

Использование же 100-го процентиля приводит к фильтру, основанному на выборе максимального значения (максимальному фильтру):

.

 

Такой фильтр полезен при обнаружении наиболее ярких точек на изображении. Кроме того, поскольку униполярный «черный» импульсный шум принимает минимальные значения, применение этого фильтра приводит к уменьшению этого шума, так как в процессе фильтрации из окрестности  выбирается максимальное значение.