Непараметрические и параметрические критерии различий в уровне исследуемого признака

Гипотезой называется предложение, имеющее вероятностный характер, обладающее неопределенностью в отношении своей истинности.

Различают два вида гипотез:

Нулевая гипотеза Н₀ - гипотеза об отсутствии различий в выборках или условиях эксперимента, о сходстве двух распределений и т.п.

Альтернативная гипотеза Н₁ – это гипотеза о значимости различий в выборках, о различии распределений и т.п., то есть гипотеза, противоположная по смыслу нулевой гипотезе.

Нулевая и альтернативная гипотезы бывают направленными и ненаправленными.

Направленная гипотеза – формулируется тогда, когда исследователь предполагает отсутствие или наличие различий в определенном направлении.

Например, Н₀ – гипотеза «Экспериментальная группа не превышает контрольную по…»

Например, Н₁ – гипотеза «Экспериментальная группа превышает контрольную по…»

Ненаправленная гипотеза фиксирует лишь отсутствие или наличие различий, не указывая направления.

Например, Н₀ – гипотеза «Экспериментальная группа не отличается от контрольной по…»

Например, Н₁ – гипотеза «Экспериментальная группа отличается от контрольной по…»

Проверка гипотез осуществляется с помощью следующих критериев.

Статистический критерий – это правило, которое позволяет принимать истинную и отклонять ложную гипотезу с большой вероятностью. Математически он представляет собой формулу, по которой можно получить значение критерия, то есть некоторое число.

Параметрические критерии несколько более мощные, чем непараметрические, но их использование требует часто довольно громоздких вычислений.

Уровень значимости – это вероятность отклонения нулевой гипотезы, в то время как она верна, то есть это вероятность ошибки отклонения нулевой гипотезы. Если вероятность ошибки равна р, то вероятность правильного решения равна 1-р.

В психологии, педагогике, социологии и т.д. практически используют 3 уровня статистической значимости:

Низший – 5 % уровень значимости (р≤0,05);

Достаточный - 1 % уровень значимости (р≤0,01);

Высший – 0,1 % уровень значимости (р≤0,001).

Исходя из вышеизложенного получаем три уровня достоверности:

1 уровень достоверности ≥ 95 %;

2 уровень достоверности ≥ 99 %;

3 уровень достоверности ≥ 99,9 %.

 

Q - критерий Розенбаума

Назначение: Q-критерий Розенбаума применяется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака или свойства, измеренного количественно.

Ограничения: В каждой выборке должно быть не менее 11 наблюдений, то есть:

— n1≥11, n2≥11, и n1≈n2

— При этом, если n1≤50, n2≤50, то |n1-n2| ≤ 10;

— если 51≤ n1 ≤ 100, 51≤n2≤100, то |n1-n2 | ≤20;

— если n1≥100, n2 ≥100, то n1:n2 ≤ 1,5, где n1 ≥ n2

Алгоритм использования:

1) Проверить выполнение ограничений критерия

    (n1≥11, n2 ≥11, n1≈n2).

2) Упорядочить значения признака в каждой выборке по убыванию. Определить в каждой выборке максимальное и минимальное значения исследуемого параметра. Считать первой ту выборку, в которой максимальное значение параметра больше, а второй - ту, в которой максимальное значение параметра меньше.

3) Сформулировать гипотезы:

— H 0: Уровень признака в первой выборке не превышает уровня признака во второй выборке.

— H 1: Уровень признака в первой выборке превышает уровень признака во второй выборке.

4) Подсчитать количество значений (SI) в первой выборке, которые больше максимального значения во второй выборке, и количество значений (S2) во второй выборке, которые меньше минимального значения в первой выборке.

5) Найти эмпирическое значение Q-критерия Розенбаума по формуле:

Qэмп. = S1+S2.

6) По таблице для Q-критерия определить для данных n1 и п2 критические значения критерия с уровнями значимости р≤0,05 и р≤0,01. Сравнить Qэмп., и Qкр.

 

— Если Qэмп.≥Qкр. на некотором уровне значимости, то Н0 отклоняется на том уровне значимости, на котором вычислено критическое значение, а принимается Н1.

— Если Qэмп.<Qкр. (p≤0,05), то принимается Н0.

— Чем больше значения Qэмп., тем более достоверны различия.

 

Ось значимости:

 

Замечание: Критерий Розенбаума нежелательно применять тогда, когда максимальное и минимальное значения признака принадлежат одной группе. В этом случае погрешность слишком велика.

Пример: у двух групп испытуемых (группа А и группа В) измерен по одной и той же методике уровень выносливости. Можно ли утверждать, что в одной группе оценки выше, чем во второй, если оценки таковы:

гр. А:

    121,104,115,116,115,109,115,109,108,112,112,109

гр. В:

    121,113,123,124,121,121,120,121,111,116,118,125,125,125,126

 

U - критерий Манна-Уитни

Назначение: U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака или свойства, измеренного количественно.

— Его можно применять как для малых, так и для больших выборок, а также для случаев, когда диапазон значений одной выборки включает в себя диапазон значений другой выборки, то есть тогда, когда Q-критерий Розенбаума неприменим. U-критерий является более мощным, чем Q-критерий, но вычисление его чуть более сложно.

Ограничения:

— Объемы выборок должны удовлетворять условиям:

— n1≥3, n2≥3, но допускается случай n1=2,   n2 ≥ 5.

— n1≤60, n2≤ 60, но на практике, если n1≥20 и n2≥20, то применение критерия затруднительно.

— При больших объемах выборок лучше использовать другие критерии.

Алгоритм использования:

1) Проверить ограничения критерия.

2) Объединить выборки А и В в одну общую выборку AuВ, пометив принадлежность каждого индивидуального значения к данной группе (цветом, буквой, шифром). Упорядочить значения признака в объединенной выборке по возрастанию и проранжировать все значения, приписывая меньшему значению меньший ранг, а равным значениям - равные ранги.

— Разделить выборку на две прежние выборки А и В, ориентируясь на пометки, и подсчитать суммы рангов отдельно для каждой из выборок, обозначить их за ТА и Тв. Считать первой ту выборку, в которой значения по предварительной оценке выше, а второй - ту, в которой значения ниже. Пусть nА - объем выборки А, а nв - объем выборки В.

— Если ранжирование и подсчет произведены верно, то должно выполняться контрольное равенство:

ТА+Тв= (nА+nВ)(nА+nВ + 1):2.

3) Занести данные в таблицу вида:

 

Значения АиB	x1	x2	x3	…	xN	Cуммы
Место	1	2	3	…	N	-
Ранг	r1	r2	r3	…	rN	-
Выборка				…		-
Ранги А				…		ТА=?
Ранги В				…		ТВ=?

 

Где N=nа+nв – объем объединенной выборки.

4) Сформулировать гипотезы:

  H 0: Уровень признака в выборке I не выше уровня признака в выборке II.

  Н1: Уровень признака в выборке I выше уровня признака в выборке II.

 

5) Вычислить значения U-критерия для каждой из выборок

 

6) Найти Uэмп., равное наименьшему из значений UA и UB:

 

Uэмп. = min(UA;UB)

 

— Если Uэмп.≤Uкр. на некотором уровне значимости, то Н0 отвергается, a H1 принимается на этом уровне значимости.

— Если Uэмп.>Uкр. на некотором уровне значимости, то H0 принимается на том же уровне значимости.

— Чем меньше Uэмп. тем более вероятно, что сдвиг в типичном направлении статистически достоверен.

Пример:

Даны результаты тестирования двух групп испытуемых А и В по некоторому признаку или свойству:

гр. А: 25,14,18,16,23,22,18,19

гр. В: 28,15,26,13,15,11,20,19,10,12

Можно ли считать, что результаты тестирования в группе В выше, чем в группе А?