Производная и дифференцируемость функции

25. Найти производную функции:

1) , 2) ,

3) ,   4) ,

5) ,   6) ,

7) ,           8) ,

9) , 10) ,

11) ,  12) ,

13) , 14) ,

15) .

26. а) Определить углы, под которыми графики функций: ,  и пресекают ось абцисс.

б) Написать уравнение касательной и нормали к кривой  в точке ее пересечения с параболой .

в) Доказать, что уравнение касательной к эллипсу  в точке (x ₀, y ₀) имеет вид .

г) Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону . Определить кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала движения.

27. Доказать тождество  при x > 1.

28. Квадратный 3-х член  принимает только положительные значения. Доказать, что .

29. Доказать, что  при .

30. Вычислить предел .   (Ответ. 2)

Указание. Применить формулу Тейлора.

31. Пусть  - нечетная дифференцируемая на R функция. Доказать, что производная  - четная функция. Верно ли обратное утверждение?

32. Пусть  - четная дифференцируемая на R функция Доказать, что производная  - нечетная функция. Верно ли обратное утверждение?

33. Доказать, что при .

34. При каком значении a функция  дифференцируема в точке x=0?

35. Пусть , при этом , , ,  положительны на R. Доказать, что существует число  такое, что  при любом .

Указание. Применить формулу Тейлора.

36. Пусть

.

Доказать, что существует число  такое, что .

Указание. Применить теорему Ролля.

37. Доказать, что функция

  

дифференцируема на R.

38. Дана функция

  

Существует ли производная функции в точке x =0? Будет ли эта функция непрерывной в точке x =0?

39. Исследовать на непрерывность и дифференцируемость функцию .

40. На основании теоремы Лагранжа доказать неравенство , .

41. Доказать, что функция  имеет хотя бы один корень в интервале (0;1) при любом .

42. Пусть функция  дифференцируема на [ a, b ], 0< a < b.

   Доказать, что существует точка  такая, что

.

(Указание. Применить теорему Коши о среднем для функции  и )

43. Пусть определена функция

               .

Применяя теорему Лагранжа для сегмента [0, x ] имеем , .

Отсюда .

Если , то и . Тогда из последнего равенства получим . Но известно, что  не существует. Объясните в чем дело?

44. Пусть функция  определена на R и при любых  и  удовлетворяет неравенству . Докажите, что .

График функции

Построить график следующих функций

45. а) ,       б) ,

в) ,            г) .

46.

47. а) ,                      б) .

48. .

49. .

50.

Интегрирование

51. Вычислить неопределенный интеграл:

1) ,               2) ,        3) ,

4) ,  5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) 12) ,

13) 14) 15)

16)          17)       18)    

19)      20)             21)

22)       23) 24)

25)         26)       27)

28)      29)           30)

31) , 32)       33)

52. Вычислить определенный интеграл:

1)          2) , 3)

4) , 5)     6)

7)     8)      9)

10) 11)            12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19)          20)

53. а) Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

      1)   и ;

      2)  и ;

      3)  и ;

      4) ;

      5) , .

б) Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом;

      .

в) Найти длину кривой:

     1)  от точки (0;0) до точки (;1);

     2) (астроида);

     3) (кардиоида).

Ряды

54. Найти сумму ряда

  

55. Исследовать на сходимость:

а)           б)             в)

г)     д)            е)

56. Исследовать на абсолютную или условную сходимость:

а)            б)

в)        г)

57. Исследовать на равномерную сходимость функциональные последовательности:

а)             б)

в)           г)

58. Исследовать на равномерную сходимость функциональные ряды:

а)                 б)

в)    г)

59. Пусть задана функция . Найти область определения этой функции и исследовать ее на непрерывность и дифференцируемость.

60. Найти сумму степенного ряда .

61. Найти круг сходимости степенного ряда. Будет ли аналитической его сумма в точке с?

а)        б)

62. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки z₀=2 и найти круг сходимости:

а)                            б)

63. Вычислить приближенно число  с точностью до 10^-3.

64. Вычислить с точностью до 10^-3 интеграл

Теория функций

65. Установить биекцию между сегментом [0;1] и интервалом (0,1).

66. Доказать, что множество всех функций, непрерывных на [ а, b ], имеет мощность континуума.

67. Доказать, что множество всех функций (непрерывных и разрывных), заданных на сегменте [ a, b ], имеет мощность f, большую, чем мощность континуума, причем

68. Доказать, что множество всех точек разрыва монотонной функции, заданной на промежутке < a, b > не более чем счетно.

69. Дано множество  Найти множество предельных, внутренних, граничных, изолированных и внешних точек множества E.

70. Доказать, что замыкание любого множества замкнуто.

71. Доказать, что множество замкнуто тогда и только, когда оно совпадает со своим замыканием.

72. Доказать, что граница любого множества замкнута, причем  где - граница множества - его дополнение до метрического пространства  

73. Доказать, что если множество  является одновременно замкнутым и открытым, то  либо пусто, либо  равно  

74. Доказать, что расстояние между непересекающимися замкнутыми множествами строго положительно, если хотя бы одно из этих множеств ограничено.

75. Может ли быть интегрируемой по Риману на [ a, b ] функция, разрывная во всех точках некоторого непустого открытого множества

76. Доказать, что пространство  является гильбертовым.

77. Доказать, что множество непрерывных функций, заданных на [ a, b ], всюду плотно в .

78. Пусть функция  является аналитической в  Доказать, что если одна из функций  или  тождественно равна постоянной в , то и функция  в

79. Доказать, что функция гармоничная в некоторой области и отличная от постоянной не может принимать (достигать) своего локального экстремума внутри этой области.

80. Доказать, что если  аналитична в области и  в , то  не может иметь точек локального максимума внутри .

81. Доказать, что если  аналитична в области ,  и не имеет нулей в , то  не может иметь минимума внутри .

82. Доказать, что если , ,  на границе , то  имеет хотя бы один нуль в .

83. Доказать, что если  аналитична в и в некоторой точке  все производные  то  в .

84. Пусть граница Г области  аналитичности  содержит гладкую простую дугу  и  непрерывна в  вплоть до дуги . Доказать, что если  на , то  в . (Указание. Использовать принцип непрерывности при аналитическом продолжении).

85. Пусть  и одна из функций или  равна постоянной на границе . Доказать, что  в .

Дифференциальные уравнения

86. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию

87. Проинтегрировать уравнение

88. Найти общее решение уравнения

89. Найти общее решение уравнения

90. Найти общее и особое решение уравнения

91. Найти общее решение следующих уравнений:

  а)   

  б)

  в)

  г)

  д)

92. Найти общее решение следующих неоднородных дифференциальных уравнений:

а)

б)  

в)

93. Пусть в дифференциальном уравнении  при всех  и  и . Доказать, что каждое решение  такого уравнения стремится к нулю при .

94. Доказать, что все решения дифференциального уравнения  ограничены на числовой прямой.

95. Доказать, что краевая задача

 других решений, кроме  не имеет.

96. Могут ли интегральные кривые данного дифференциального уравнения  пересекаться в некоторой точке  плоскости

97. Сколько существует решений дифференциального уравнения , удовлетворяющих одновременно двум условиям:  Рассмотреть отдельно случай

98. Найти общее решение дифференциальных уравнений в частных производных:

а)

б)

Функциональные уравнения

99. Найдите все нетривиальные функции , удовлетворяющие при всех  и  из  уравнению

                          (Ответ. )

100. Найдите все функции , удовлетворяющие при                              любых  и  из  уравнению

             (Ответ. )

101. Найдите все функции , удовлетворяющие при                                  всех  и  из  уравнению

          (Ответ. )

102. Найдите все непрерывные функции , удовлетворяющие при всех  уравнению

    .                            (Ответ. )

103. Найдите все функции , ограниченные в окрестности нуля и удовлетворяющие при всех , уравнению

                       (Ответ. )

104. Найдите все нетривиальные непрерывные функции , удовлетворяющие при всех  и  уравнению

                   (Ответ. )

105. Найдите все нетривиальные непрерывные функции , удовлетворяющие при всех  и   уравнению

                        (Ответ. )

106. Найдите все функции  удовлетворяющие    при всех  и  уравнениям:

    

    

     

    и условиям:  при

                             (Ответ. )

107. Найдите все функции  из класса , удовлетворяющие уравнениям:

                 (Ответ. )

 

4.2. Задачи для повторения по алгебре и теории чисел

 

Бинарные отношения

1. Установить свойства и начертить график бинарного отношения R ={(x, y)Î R ²ç xy >1Ù x >0}.
2. Задано бинарное отношение R ={(x, y)Î R ²ç xy =1Ù x = y }. Указать верные и неверные утверждения.

а) Отношение R рефлексивное, так как истинно высказывание: " x Î R (x ²=1Ù x = x).

б) Данное бинарное отношение не рефлексивное, так как не для всякого действительного числа его квадрат равен 1.

в) Отношение R симметричное, так как истинно высказывание: " x, y Î R ((xy =1Ù x = y)Þ(yx =1Ù y = x)).

г) Данное бинарное отношение не симметричное, так как из равенства xy =1 не следует равенство y = x.

d) Данное бинарное отношение транзитивно, т.к. истинно высказывание: (" x,y,zÎR) ((xy = 1)Ú(x = y)) Ù ((yz = 1)Ú(y = z)) ® ((xz = 1)Ú(x = z)).

е) Данное бинарное отношение не транзитивно, т.к. из равенства xy = 1 и yz = 1 не следует равенство xz = 1. Например, x = , y = 2, z = и xz =  = .

ж) Данное бинарное отношение является отношением эквивалентности  и разбивает множество R на классы { 0 }, { 1 }, {–1 },...,{ 2,  }, {–2, –  },..., { a, }, {–a, – },..., где aÎR, a ¹ 0.

з) Данное бинарное отношение не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно. Следовательно, не является отношением эквивалентности.

и) График гиперболы    (xy = 1) и точка О(0,0) (т.к. 0 = 0) являются графиком бинарного отношения R

 

           

 

к) График гиперболы    (xy = 1) и прямой y = x (x = y) в объединении дают график бинарного отношения R

                  

 

Доказать методом математической индукции:

1. n(n² + 5) 6, где n Î N,   n ³ 1.
2. 1³ + 2³ + 3³ +¼+ n³ = (1 + 2 + 3 +¼+ n)², где nÎ N, n ³ 1.

Комплексные числа

1. Вычислить: (2+3i)(4–5i) + (2–3i)(4+5i).
2. Найти х и у, считая их действительными числами:

(1+2i)x + (3–5i)y = 1–3i

1. При каких условиях произведение двух комплексных чисел является действительным числом?
2. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

.

1. Извлечь все корни:

1) . 2) . 3) . 4) . 5) .

1. Выполнить действия:

.

Системы линейных уравнений

1. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:
   1)                            2)
   3)          4)
   5)                      6) .

Линейные системы векторов

12. Доказать, что при любых a, b и g система векторов , ,   линейно независима, если =(1, a, b), =(0, 1, g), =(0, 0, 1).

13. Исследовать, является ли R подпространством векторного пространства C над полем F, если: 1)F = R; 2)F = C; 3)F = Q.

14. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1)  =(1, 2, 1),                                      2) =(1,–2,–1),
     =(1, 1,–1),                                         =(–1, 1,–1),
     =(–1,–3,–3).                                       =(–1,–3,–3).

15. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов ,  векторного пространства многочленов от одной переменной степени £ 2 над полем R, если
=f₁(x)=3+x+2x², =f₂(x)=–2+x–x².

16. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , ,  не выражается линейно через остальные.

17. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов ,  векторного пространства C над R, если =2+5i, =4+10i.

18. Верно ли, что в вещественном пространстве многочленов степени = 2 вектор f(x) = 1 + 4x – 7x² линейно выражается через векторы f₁(x) = 2 – x + x², и f₂(x) = 1 – 2x + 3x².

19. Подпространство V₀ натянуто на систему векторов , где
=(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V₀.

20. Решить векторное уравнение:

, где

, , ,

21. Вычислить ранг матрицы

Матрицы и определители

22. Умножить матрицы:   

23. Найти , если А=  А=

24. Решить матричное уравнение: 1) ×X =  2)

25. Вычислить:

26. Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу из букв:

27. Вычислить

28. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера: а)                   б)