Корни многочлена и схема Горнера

55. С помощью схемы Горнера найти неполное частное и остаток от деления f на g, если f=8x⁸–10x⁷+36x⁶–28x⁵+4x³–24x²+20x+11, g=4x+3.

56. Найти кратность корня c = –2 у многочлена f, если f=x⁵+6x⁴+11x³+2x²–12x–8.

57. Разложить f по степеням двучлена x+2, если f=3x⁵+7x⁴+x³–2x+3.

58. Записать в стандартном виде многочлен f: f=(x+2)⁵–3(x–2)³.

Полиномы над числовыми полями

59. Доказать неприводимость над Q полинома f: f=x⁴–2x+3.

60. Разложить многочлен f(x)=x¹²–2x⁶+1 на неприводимые множители над полем действительных чисел.

61.  Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени, который имеет своими конями числа 2+i, 3 и двукратный корень 1+i.

62. При каком l многочлены f=x³–2lx+l³ и g=x³+l²–2 имеют общий корень в C?

Симметрические полиномы

63. Выразить симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены:

1. а) f(x₁,x₂,x₃)=x₁³+x₂²+x₃³+3x₁x₂x₃        б) f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁+2x₂+2x₃.

64. Многочлен f представить как многочлен от x₃ над кольцом R[x₁,x₂], если f=4x₁³x₂x₃²+3x₁x₂²x₃² – x₁²x₂x₃³+2x₁x₂²x₃ – 3x₁³x₂²x₃+2x₁³x₃³+8x₁x₃ – 5x₁x₂+2x₃ – 17.

Теория делимости

65. Вычислить НОД(588, 2058, 2849) двумя способами.

66.  Вычислить НОД(99, 162) и выразить его через данные числа.

67. Доказать, что 8128 - совершенное число.

68. Найти натуральное число, зная, что оно имеет два простых делителя, всего 6 натуральных делителей, сумма которых равна 28.

69. Найти натуральное число, произведение всех натуральных делителей которого равно 5832.

70. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 100 и не делящихся ни на одно из простых чисел: 5, 7, 11.

71. Решить в натуральных числах системы уравнений:

а) ,  б) .

72. Построить графики функций:

а) y=j (x),       б) t=(x),                  в) s=(x), где x Î N, x³1.

Теория сравнений

73. По какому модулю числа 20,–4, 22, 18,–1 составляют полную систему вычетов?

74. Доказать, что система чисел 20, 31,–8, –5, 25, 14, 8,–1, 13, 6 не являются полной системой вычетов по модулю 10.

75. Почему система чисел –5, 13, 11,–25, 5 не является приведенной системой вычетов по модулю 12?

76. Решить сравнения:
1) 3xº4(mod 5),                   2) 12xº16(mod 20),              3)12xº15(mod 20).

77.  Вычислить последние две цифры числа 2¹⁰².

78. Дробь  - несократима. Будет ли несократимой дробь  ?

79. Представить в виде систематической записи: (51306)₇.

80. Перейти к двоичной системе счисления:

1.                    n=46=(46)₁₀.

81. Перейти к 12-ричной системе счисления:

2.                    n=19510.

82. Исследовать применяя признаки делимости, делится ли число А на а, если:
1) А=61907531, а=7.
2) А=65204779728, а=3256.

Основные понятия теории групп

83. Доказать, что множество целых чисел, кратных 3, есть подгруппа аддитивной группы целых чисел.

84. Доказать, что множество матриц вида , где аÎ R \ {0}, есть подгруппа мультипликативной группы G всех невырожденных матриц второго порядка.

85. Исследовать, образует ли группу относительно операции умножения чисел множество М, где М={1,–1, i,–i }, i-мнимая единица.

86. Пусть G- мультипликативная группа невырожденных матриц второго порядка. Найти порядок элемента a₁ÎG, если .

87. Доказать, что отображение x ® 3^x является изоморфизмом аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел.

88. Доказать, что аддитивную группу всех функций вида ax + b (a, b Î R) можно гомоморфно отобразить на аддитивную группу R, и найти ядро этого гомоморфизма

89. Доказать, что группа <A₁, •> изоморфна группе <A₂,•>, где
A₁= , A₂=R\{0}.

90. Пусть все элементы группы, кроме единицы, имеют порядок 2. Доказать, что группа абелева.

Кольца и поля

91. Исследовать, образует ли кольцо относительно операций сложения и умножения матриц множество М матриц вида , где a, b- любые действительные числа.

92.  Исследовать, образует ли кольцо относительно обычных операций сложения и умножения множество Z [i] комплексных чисел вида x+yi, где x,yÎ Z.

93. Пусть на множестве R задано обычное сложение, а умножение Ä: aÄb=b для любых a, bÎ R. Показать, что R не является кольцом относительно (+) и Ä.

94. Пусть

Доказать, что К - кольцо относительно Å и Ä.

95. Исследовать, является ли кольцо К (см. № 80) областью целостности.

96. Пусть а² = а×а = а для каждого элемента кольца К. Доказать, что кольцо К коммутативно.

97. Составить таблицу Å и Ä элементов колец вычетов а) Z ₃, б) Z ₈ и выяснить, имеются ли в этих кольцах делители нуля.

98. Доказать, что кольцо <A,+,•> образует поле, если
A= .

99.  Доказать, что отображение j, такое, что
j: , является изоморфизмом поля F₁ на поле F₂, где F₁= ,F₂=Q()= , а операции определены как обычно.

100. В кольце Z [i] есть 4 обратимых элемента: {–1, 1, i, –i}. Доказать, что других обратимых элементов в кольце Z [i] нет.

 

4.3. Задачи для повторения по геометрии

 

Применение векторов к решению геометрических задач. Метода координат на плоскости

 

1. Установить свойства и начертить график бинарного отношения R ={(x, y)Î R ²ç xy >1Ù x >0}.
2. Доказать, что в любом треугольнике прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.
3. а) Найти расстояние от вершины правильного тетраэдра до середины средней линии противолежащей грани, если ребро тетраэдра равно а; б) Найти угол между скрещивающимися медианами граней правильного тетраэдра; в) Доказать, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
4. Найти диагонали параллелепипеда, зная три его ребра, выходящих из одной вершины и углы между ними.
5. В правильном тетраэдре найти угол между медианами граней, выходящими из одной вершины.
6. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
7. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого трехгранного угла.
8. В четырехугольнике АВСД суммы квадратов длин противоположных сторон равны. Доказать, что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны.
9. Доказать, что в любом четырехугольнике, противоположные стороны которого не параллельны, середины диагоналей и середина отрезка, концами которого являются точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны четырехугольника, лежат на одной прямой (теорема Гаусса).
10. Окружность и ромб имеют общий центр. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин ромба постоянна.
11. Доказать, что если вершины одного параллелограмма лежат соответственно на различных сторонах другого, то центры этих параллелограммов совпадают.
12. Концы отрезка длины 2а скользят по двум взаимно перпенди­кулярным прямым. Найти множество всех точек, которое при этом описывает середина отрезка.
13. Вокруг квадрата со стороной 2а описана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до прямых, содержащих стороны квадратов, постоянна и равна 8 а ².
14. На прямой х+2у-1=0 и на осях прямоугольной декартовой системы координат найти точки, равноудаленные от точек А(-2,5) и В(0,1).
15. Написать уравнения всех сторон квадрата АВСД, вписанного в окружность, заданную уравнением х²+у² = 169, если точка А имеет координаты (5,-12). Система координат прямоугольная декартова.
16. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку А (8,6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12. Система координат прямоугольная декартова.
17. Две стороны и медиана треугольника лежат на прямых, заданных уравнениями х+2у-3=0, х+у-2=0 и 5х+6у-15=0 соответственно. Написать уравнение прямой, содержащей третью сторону треугольника.
18. Можно ли подобрать коэффициенты l и m и так, чтобы прямые, заданные уравнениями 3х-2у+1=0 и lх+mу - 3=0: а) совпадали; б) были параллельными; в) пересекались?
19. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А (2,3) и В (3,6)и касающейся прямой a, заданной уравнением 2х+у-2=0.
20. Составить уравнение окружности, которая касается прямых у = 0, у = 2х и проходит через точку А(2,1).
21. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до сторон квадрата не зави­сит от выбора точки на окружности. Найти эту сумму, если сторона квадрата равна 2а.
22. Доказать, что сумма квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр, не зависит от выбора прямой. Найти эту сумму, если сторона квадрата равна а.
23. Найти множество центров тяжести всех треугольников, две вершины которых зафиксированы, а третьи вершины лежат на данной прямой.
24. Точки Е и К - середины сторон АД и ВС параллелограмма АВСД. Доказать, что прямые BE и КД делят диагональ АС параллелограмма на три равные части.
25. Доказать, что из всех равновеликих треугольников с общим основанием наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.
26. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно прямых АВ, ВС,СА принадлежит описанной около треугольника АВС окружности.

Задачи на построение

1. Даны прямая l и точки А, В, лежащие по одну сторону от прямой l. Построить на прямой точку М, для которой длина ломаной AMВ минимальна.

2. В данный остроугольный треугольник АВС вписать треугольник наименьшего периметра так, чтобы его вершины лежали соответственно на сторонах треугольника АВС.

Преобразования плоскости

3. Доказать, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.

4. Каким движением является движение, обратное для: а) параллельного переноса Т ; б) поворота R_о^j; в) симметрии S_l относительно прямой l; г) скользящей симметрии?

5. Пусть f - композиция трех осевых симметрий. Доказать, что f²-параллельный перенос.

6. К какому типу относится движение, отличное от тождественного преобразования и имеющее: а) инвариантную точку и инвариантную прямую, не проходящую через эту точку; б) две пересекающиеся инвариантные прямые?

7. Доказать, что если ограниченная фигура имеет более чем одну ось симметрии, то все эти оси пересекаются в одной точке.

8. Чем является композиция: а) двух параллельных переносов; б) параллельного переноса и осевой симметрии; в) параллельного переноса и центральной симметрии?

9. Доказать, что два прямоугольника равны (т.е. существует движение, переводящее один прямоугольник в другой) тогда и только тогда, когда две смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого.

10. Образуют ли коммутативную группу: а) все повороты плоскости; б) все повороты с данным центром 0; в) все параллельные переносы?

11. Доказать, что множество всех параллельных переносов и центральных симметрий образует группу.

12. Доказать, что следующие формулы определяют движение. Найти тип этого движения и элементы, определяющие движение: а) х'= -у-4, у'=х-2; б) х'=-х, у'= у+1; в) х'= х, у' =-у+6. Разложить каждое движение в композицию осевых симметрий. (Записать в определенном порядке уравнения осей).

13. Найти уравнение прообраза, прямой Зх-у+2=0 при параллельном переносе, для которого прямая 2х-у = 0 является инвариантной, а прямая 4х-3 = 0 переходит в прямую 4х-Зу+4 = 0. Какие из данных формул, записанных в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами подобия: а) х'= 3х-4у+8, у'=4х+3у-2; б) х'=8х+у+2, у'=х+8у-3; в) х'=5у+9, у'=5х+20; г) х^/=3x+5y+18 у'=5 х-у+3. Чему равен коэффициент подобия?

14. Представить подобие, заданное в прямоугольной декартовой системе координат формулами x' = 4х+2у+5, у'= 2х-4у+3 в виде композиции: а) движения и гомотетии; б) гомотетии и движения.

15. Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезов, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности (окружность девяти точек).

16. Даны две окружности с центрами 0₁, 0₂, касающиеся внешним образом. Доказать, что эти две окружности и окружность, построенная на отрезке 0₁0₂ как на диаметре, касаются одной прямой.

17. Доказать, что если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

18. Даны; окружность, прямая и точка А. Построить отрезок с серединой в точке А так, чтобы один его конец лежал на данной окружности, а другой - на данной прямой.