Векторные пространства, линейные операторы

29. Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида , где a, b, c, dÎ R.

30. В двумерном векторном пространстве с базисом ,  отображение f₁  переводит

"(x, y) ® (3x – 2y, 2x + y),

отображение f₂   переводит

"(x, y) ® (x + y, y).

Исследовать, являются ли отображения f₁, f₂ линейными операторами. Если - да, то вычислить матрицу каждого линейного оператора в базисе , .

31. Линейный оператор f векторного пространства V над полем R имеет матрицу А,

,

в некотором базисе , , , . Найти ядро Ker f и дефект f.

32. Линейный оператор f в базисе , , ,  задан матрицей:

Найти для вектора , , его образ f().

33. В трехмерном арифметическом пространстве в базисе , ,  линейный оператор f задан матрицей А. Вычислить матрицу С линейного оператора f в базисе , , , если

34. В некотором базисе линейный оператор f задан матрицей А, . В том же базисе векторы , ,  заданы своими координатами =(1, 2), =(0, 3), =(1, 0). Выделить среди этих векторов собственные и найти их собственные значения.

35. Пусть линейный оператор f задан матрицей А в некотором базисе. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора f, если

.

36. В арифметическом пространстве R ⁴ линейный оператор f в единичном базисе задан матрицей А;

.

Найти базис ядра линейного оператора f, ранг и дефект f.

Полиномы от одной переменной

37. Найти сумму f(x) и g(x), если
f(x)=2x⁶+3x⁵–8x³+17x²–35x–18,        g(x)=–2x⁶+5x⁵–2x⁴+10x³+35x+8.

38. Найти произведение f·и h, если f=3x⁴–2x³+2x²+7, h=5x³+4x–5.

39. Найти произведение fg в кольце Z₆[x], если f=2x³–3x²–5x+4, g=3x³+5x²–4x+3.

40. Найти необходимое и достаточное условия делимости многочлена f(x) на j(x), если f(x)=x³+2x²+ax–3, j(x)=x²–px+q.

41. Найти частное a и остаток r, если f=2x⁵+3x⁴–6x³–5x+7, g=x³+2x²–3x+1, f=g·q+r.

42. Выполнить деление с остатком f на g в кольце многочленов над кольцом классов вычетов Z₃[x] по модулю 3, если f=2x⁴+x+1, g=2x+1.

43. Разложить многочлен f(x)=x¹²–2x⁶+1 на неприводимые множители над полем действительных чисел.

44. Найти необходимое и достаточное условия делимости многочлена f(x) на j(x), если f(x)=x³+2x²+ax–3, j(x)=x²–px+q.

45. Выполнить деление с остатком в Q[x] f на g:

f=x⁶–7x⁵–13x ⁴+4x²+11x–5, g=x³–5x²+4x–3.

46. Найти необходимые и достаточные условия делимости f на g: f=x³+ax²+3x+c, g=x²+px+2.

47. Найти необходимые и достаточные условия делимости первого многочлена на второй: f=x³+px+q, g=x²+mx–1.

48. Найти остаток от деления f на g, пользуясь схемой Горнера: f=x⁴–2x³+4x²–6x+8, g=x–1.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух полиномов

49. Найти НОД и НОК:
f₁=x³+2x²+3x +2, f₂=x⁴+x³+x²–x–2, f₃=x³–x²–4.

50. Найти НОД многочленов f(x) и g(x):
1) f(x)=x⁶+x⁵–3x⁴+2x³+4x–2, g(x)=x⁵+3x⁴+x³+6x²+4x+6.
2) f(x)=(x–1)⁸¹³(x+2)¹⁰⁷(x–3)⁹¹ , g(x)=x⁹+x⁸–5x⁷+x⁶+11x⁵–13x⁴–7x³+15x²–4.

51. Для многочленов f=x³–x²+3x–10 и g=x³+6x²–9x–14 найти такие многочлены u и v, что f·u+g·v=d, где d=НОД(f,g).

52. Найти НОД(f,g) и его линейное представление через f и g: f=x³–1, g=x⁴+x³+2x²+x+1.

53. Найти НОК(f,g): f=x³³–1, g=x¹⁸–1.

54. Найти НОД и НОК: f=x⁴–4x³+1, g=x³–3x²+1.