Задача об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи о составлении смеси).



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Задача об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи о составлении смеси).



Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.
В табл. приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:
не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
не менее 22% белка (от общего веса смеси)
не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )
Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

Ингредиент Содержание питательных веществ (кг/ингредиента) Стоимость (руб./кг)  
Кальций Белок Клетчатка  
Известняк Зерно Соевые бобы 0.38 0.001 0.002 - 0.09 0.002 - 0.02 0.08 0.4 0.15 0.40  

 

 

Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:
X 1 - содержание известняка в смеси (кг);
Х2 - содержание зерна в смеси (кг);
Х3 - содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят:

20 000 х 0.5 = 10 000 кг.

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:

0.38X1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 0.008 х 10 000,

0.09Х2 + 0.50Х3 ≥ 0.22 х 10 000,

0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 0.05 х 10 000.

Окончательный вид математической формулировки задачи:

min f(X) = 0.04 x1 + 0.15Х2 +0,40Х3

при ограничениях

Х123= 10 000

0.38Х1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 80

0.09Х2+ 0.50Х3 ≥ 2200

0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 500

Xj > 0, j = 1, 2, 3

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Питательные вещества Число единиц питательных веществ в единице продукции Необходимый минимум питательных веществ
П1 П2
S1
S2
S3
S4

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.
Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

F = 3x1 + 4x2. (5)

С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2x2) единиц питательного вещества S1, (3x1 + 2x2) единиц питательного вещества S2, (2x1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2x1 + 2x2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:

F=c1x1+c2x2+…+cnxn→(min) (7)

Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

при ограничениях: на общий расход смеси

на питательность смеси

на не отрицательность переменных

xj≥0, j=1,2,…n,

где xj – количество j-го сырья в смеси;

n – количество видов сырья;

m – количество питательных веществ;

aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;

b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;

cj – стоимость единицы сырья j;

q – минимальный общий вид смеси



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.212.130 (0.007 с.)