Задача об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи о составлении смеси).

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.
В табл. приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:
не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
не менее 22% белка (от общего веса смеси)
не более 5% клетчатки (от общего веса смеси)
Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

Ингредиент	Содержание питательных веществ (кг/ингредиента)	Стоимость (руб./кг)
Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк Зерно Соевые бобы	0.38 0.001 0.002	- 0.09 0.002	- 0.02 0.08	0.4 0.15 0.40

 

 

Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:
X ₁ - содержание известняка в смеси (кг);
Х₂ - содержание зерна в смеси (кг);
Х₃ - содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят:

20 000 х 0.5 = 10 000 кг.

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:

0.38X₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ ≥ 0.008 х 10 000,

0.09Х₂ + 0.50Х₃ ≥ 0.22 х 10 000,

0.02Х₂+ 0.08Х₃ ≤ 0.05 х 10 000.

Окончательный вид математической формулировки задачи:

min f(X) = 0.04 x₁ + 0.15Х₂ +0,40Х₃

при ограничениях

Х₁+Х₂+Х₃= 10 000

0.38Х₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ ≥ 80

0.09Х₂+ 0.50Х₃ ≥ 2200

0.02Х₂+ 0.08Х₃ ≤ 500

X_j > 0, j = 1, 2, 3

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Имеется два вида продукции П₁ и П₂, содержащие питательные вещества S₁, S₂, S₃, S₄ (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Питательные вещества	Число единиц питательных веществ в единице продукции	Необходимый минимум питательных веществ
П1	П2
S1
S2
S3
S4

Стоимость единицы продукции П₁ и П₂ соответственно равна 3 и 4 д.е.
Решение. Обозначим через х₁ и х₂ – количество продукции П₁ и П₂, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

F = 3x₁ + 4x₂. (5)

С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₁, (3x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₂, (2x₁ + x₂) единиц питательного вещества S₃ и (2x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₄. Так как содержание питательных веществ S₁, S₂, S₃, S₄ в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через x_j (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее b_i (i = 1,2,…,m) единиц, a_ij – число единиц питательного вещества s_i в единице продукта j-го вида. Известна стоимость c_j единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:

F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→(min) (7)

Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

при ограничениях: на общий расход смеси

на питательность смеси

на не отрицательность переменных

x_j≥0, j=1,2,…n,

где x_j – количество j-го сырья в смеси;

n – количество видов сырья;

m – количество питательных веществ;

a_ij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;

b₁ – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;

c_j – стоимость единицы сырья j;

q – минимальный общий вид смеси