Правила построения векторных диаграмм.

Векторная диаграмма - это положение вектора на комплексной плоскости

Топографическая диаграмма напряжения – это положение комплексных потенциалов точек соединения схемы на комплексной плоскости.

Правило № 1

Любую синусоидальную величину можно представить ввиде вращающегося вектора с угловой скоростью ɷ и длинной равной амплитуде.

Правило №2

Начальное положение вектора определяется углом начальной фазы.

Правило №3

В одних и тех же осях можно строить векторы токов, напряжений, ЭДС одной и той же частоты.

Правило №4

Так как вращения векторов одинаковы по отношению друг к другу, они остаются неподвижными, поэтому векторы не вращаются, рассматривают в нулевой момент времени.

Правило №5

Отказавшись от вращения можно строить векторы не только амплитудных, но и действующих значений.

Правило №6

Векторы можно складывать по правилу параллелограмма.

Правило №7

Если начальные фазы не заданы, то начальные фазы одного параметра можно принять равное нулю, остальные начальные фазы определяются из этого параметра.

Изображение синусоидальных величин в комплексной форме.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической - формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

 

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

,

(5)

Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр - комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

.

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

,

(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

,

- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

.

Тогда мгновенное значение напряжения:

,

где .

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

,

(7)

а при (третий квадрант)

(8)

или

(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

_где ;

.

Закон Ома в комплексной форме.

U = U_R +U_L + U_C = U_R + jU_L – jU_C = IR + jIX_L – jIX_C = I (R+ j) (X_L - X_C) = IZ

Законы Кирхгофа в комплексной форме.

1 закон Кирхгофа:

I=I_R+I_L+I_C=I_R – jI_L + jI_C=U/R – jU/X_L+ U/jX_C

2 закон Кирхгофа: ΣE = ΣIZ + ΣU