Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера применима при работе трения в упругой стадии, когда критическое напряжение меньше предела пропорциональности формула. Теперь можно получить предельную гибкость при которой и больше которой можно пользоваться ф-лой Эйлера.

δкр=π^2*E\λ^2

В дальнейшем стержни по гибкости будем разделять на 3 группы:

1.Стержень большой гибкости λ>λ0=100 δкр<δпр

Такие стержни рассчитываются на устойчивость по формуле Эйлера.

Fкр=π^2EImin\μl^2

2. Стержень средней гибкости. рассчитывается на прочность и устойчивость

λ=60:100

δр<δкр<δу

Для таких стержней применяется напряжение определяющееся по формуле Яшинского.

δпр=авλ

а и в постоянные для материала.

Для стали а=310МПА, в=1,41МПА

Fкр=δпр*А

3. Стержень малой гибкости Λ=0:60

Рассчитывается только на прочность δкр=δу

δ=F\A≤R

Можно построить график продольных напряжений для стали

 

 

 

РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Поскольку стержни рассчитывающиеся на устойчивость находятся под действием сжимающейся силы, условия прочности и условия устойчивости записываются аналогично. Условия прочности на сжатие:

δ=F\A≤R

R=δ0\K

Опасное напряжение для пластичных напряжений равно пределу текучести δ0=δy. Для хрупких материалов опасное напряжение равно пределу прочности

Условие устойчивости

δ=F\A≤Ry

Ry=δy\Ky

Коэффициент (фи) зависит от гибкости стержня и определяется по таблице по λ и материалу стержня.

Условие устойчивости имеет вид:

δ=F\A≤Ry

При расчете на прочность учитывается ослабленное сечение.

 

30. ПРОВЕРОЧНЫЙ И ПРОЕКТИРОВОЧНЫЙ РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

При проверочном расчете, когда площадь поперечного сечения задана, проверяют условие устойчивости след. образом:

1)определяют минимальный радиус инерции i_min =

2)определяют гибкость стойки ʎ=

3)по гибкости и материалу стержня определяют коэф-т φ; ʎ → φ
4)определяется расчетное сопротивление на устойчивость Ry= R* φ
5)проверяется устойчивость
При проектировочном расчете площадь сечения и коэфф-ент продольного изгиба не известны.
Для подбора поперечного сечения одной из величин необходимо задаваться. Обычно φ:
1)принимаем φ=0,5
2)определяем требуемую площадь поперечного сечения т.е. ; A ≥

3) i_min = 4) ʎ= 5) ʎ → φ 6) провер. условие устойчивости

7) сравниваем и R. Если расхождение не превышает 5%,то расчет заканчивается,в противном случае задается новое значение .
, и далее расчет повторяется.

 

31. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
Если к стержню одновременно приложены продольная сила N и поперечная нагрузки, то возникает продольно-поперечный изгиб.

Изгибающий момент в сечении на расстоянии z можно рассматривать как сумму двух моментов. М= - (М_о+ N_у) , где Мо- изгибающий момент от поперечных нагрузок,
Ny-изгибающий момент от продольной силы.
Запишем диф-ое уравнение изогнутой оси балки
EJy”=M
EJy”=-(Mo+Ny) *
-----------------------
E Jy”+Ny=-Mo
y”+ y= -

=K²
y”+ K²y=-

Решение этого уравнения представляет собой сумму 2 интегралов: интегр. однородного уравнения и частного интеграла неоднород. уравнения. Такая задача имеет сложное решение. Поэтому использ. приближ. метод решения т.е. задается деформация балки или стойки,но таким образом чтобы удовлетвор-сь граничные условия.
При продольном изгибе было установлено,что балка изгибается по синусоидальному закону.
Предположим,что и заданная балка деф-ся по такому же закону.
y=y_max sin z; Проверим выполнение граничных условий.
z=0 → y=0
z=1 → y=0
z=1/2 → y= y_max продиференцир. заданное выражение *
y’= y_max cos
y”= - y_max sin z подставим значение 2-ой производной в выр-ие *
EJ y_max sin z=Mo+Ny

при z= /2 y= EJ y_max = Mo+Ny_{max обозначение} =Fэ – Эйлерова сила

здесь µ=1 Fэ= y_max -Ny_max =Мо
y_max= y_max= y_max-полный прогиб от совместного действия поперечных и продольных сил.
Зная максим. прогиб и внутр. силы запишем условия прочности.

σ_max= + =
ПРИМЕР: Проверить прочность и устойчивость стойки.

[ №18 Jx=1090 см⁴ ; i_x=7,24 см; Wx=121 cм³ ; A=20,7 см; Е=210 Гпа; R=200Мпа

σ_max= + =
Момент инерции и мом. сопротивл. берутся относит. оси перпендикулярной пл-ти действия поперечной нагрузки.

y_max= ; Fэ=

y_o = = Fэ=705 кН

y_max = Проверим прочность σ_max= 181Мпа
Проверяем на устойчивость плоскость действия попереч. сил
σ_max=
ʎ= =110

σ_max =109,4Мпа <R