Начальные параметры в обобщенном уравнении изогнутой оси балки, их определение.

Если сразу известны нач. параметры можно сразу найти прогиб и угол попорота в любом сечении балки, но они не всегда известны. Нач. параметры опр-ся из граничных условий. Рассм. 1-ый и запишем:
1) Когда левый конец балки защемлен, то нач. параметры равны нулю.

z=0;

Начальный угол поворота не равен нулю. Начальный прогиб = 0.

z=0;

Находится из условия, что прогиб на 2-ой опоре = 0.

Если левый конец балки свободен, то оба нач. параметра не равны нулю.

при z=0;

Метод непосредственного интегрирования и метод начальных параметров применяется для балок постоянного поперечного сечения.
Для балок переменного сечения используются энергетические методы.

 

6. Энергетический метод определения перемещений.
Энергетич. Методы определения перемещений основаны на принятом рав-ве работы внешних сил на перемещениях в упругой системе и потенциальной энергии упругой деформации системы. W=U.
Эти методы явл. Универсальными и нашли широкое применение. Работа статически приложенной внешней силы = ½ произведения конечного значения силы на конечное значение соответствующего перемещения.

– теорема Клайперона

Работа произвольной сис-мы сил равна:

При применении энергетич. Метода как линейные, так и угловые перемещения обозначают Δ.

Для определения работы внутренней силы, численно равной потенциальной энергии деформации, выделим из балки, находящейся в условиях чистого изгиба бесконечно малый элемент dz.

Из курса теор. Механики известно,что работа момента=его произведению на соотв. угол поворота. Учитывая статический характер нагрузки,получим: dW=dU= ; dΘ=

Это выражение даёт величину потенциальной энергии для элемента балки, находящегося в условиях чистого изгиба. При поперечном изгибе, когда кроме изгибающего момента, возникают и поперечные силы,ф-ла для вычисления энергии будет иметь вид: dU=

Коэффициент К зависит от размеров сечения и в какой-то мере учитывает неравномерность распределения касат.напр-й по сечению. При вычислении энергии деф-ции изгиба поперечными силами Q можно пренебречь, т.к. последнее слагаемое составляет 2-3% от всей энергии деф-ции.

Для вычисления энергии деф-ции балки в целом следует просуммировать значение dU по всей её длине. Окончательная ф-ла для определения энергии деф-ции при изгибе имеет вид:

 

 

7. Универсальный метод определения перемещений (интеграл Мора).

Пусть требуется определить прогиб в точке 1 двухопорной балки. Для упрощения вывода показываем только одну силу, но формула, которая будет получена, справедлива для любых нагрузок.

Рисунок:

 

Если требуется определить перемещение в точке 1 под действием силы F₂, приложенной к точке 2. Делают следующее:

В точке 1 прикладывают силу F₁=1, балка прогибается. Точка 1 перемещается на ∆₁₁ (1-индекс указывает точку, в которой определяется перемещение, 2-индекс указывает точку, где приложена сила).

Сила F₁ постепенно нарастая, совершает на этом перемещении работу:

W₁=

Накопленная балкой энергия в этом случае равна: U₁= ∑ ∫ (M₁² dz ∕ 2EI_x) = W₁. Точка 2 перемещается в новое положение, но поскольку она свободна от нагрузок, то изменение энергии в балке не происходит.

К новому положению точки 2 прикладываем силу F₂, точка 2 дополнительно перемещается на ∆₂₂ и сила F₂, постепенно нарастая, совершает работу: W₂=

Дополнительная потенциальная энергия будет равна:

U₂= ∑ ∫ (M₂² dz ∕ 2EI_x)= W₂.

Под действием силы F₂, точка 1 дополнительно перемещается на ∆₁₂, а сила F₁ оставаясь постоянной, совершает на этом перемещении работу W₁₂ =F₁∙∆₁₂ – это возможная или виртуальная работа, т.е. работа на чужом перемещении.

Суммарная работа: W=W₁+W₂+W₁₂= + + F₁∙∆₁₂

Суммарная потенциальная энергия равна: U=

Т.к. U=W, получим: F₁∙∆₁₂= . Сила F₁=1, поэтому ∆₁₂= .

В общем случае, когда определяют перемещение в любой точке от действия на балку группы сил F, то выражение примет вид:

∆_1F = - формула Мора.

M₁- изгибающие моменты в сечениях балки от единичной силы.

M_F – изгибающие моменты от заданной нагрузки.

 

 

8. Порядок определения перемещение с помощью интеграла Мора.

1) Составляется уравнение изгибающих моментов от нагрузки M_F.

2) Освободив балку от нагрузки, прикладываем к ней единичную силу в той точке, где хотим определить перемещение по направлению этого перемещения.

3) Составляется уравнение изгибающих моментов от единичной силы F₁.

4) Полученные выражения моментов подставляются в интеграл Мора, и производится интегрирование и суммирование по длине системы.

Если в результате интегрирования и суммирования получают знак «+», то перемещение произошло по направлению единичной силы. Если определению подлежит не прогиб, а угол поворота сечения, то к разгруженной балке следует приложить в этом сечении единичный момент.