Определение интеграла по Риману

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a; b], a<b. Выполним следующие действия:

1. С помощью точек =a, , ,…, =b ( < < <…< ) разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков [ , ], [ , ],…, [ , ]

2. В каждом частичном отрезке [ , ], i=1, 2,…, n выберем произвольную точку c и вычислим значение функции в ней, т. е. величину .

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: * .

4.Сост. сумму S всех таких произведений.:

(1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a; b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка .

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n так, что .

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] Т.о., = (2)

Необходимые и достаточные условия интегрируемости

Введём понятие верхней и нижней суммы Дабру. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], разбиение этого отрезка . Положим (т.е. Mk максимальное значение функции на отрезке [k-1;k]), m (mk - минимальное), k=1, 2,…, k (3)

S = S (f)= , s = s (f)= . (4)

Сумма S называется верхней, а сумма s - нижней суммой Дарбу функции f. В случае, когда функция f ограничена, то нижние и верхние грани (3) конечны, и потому суммы Дарбу (4) при любом разбиении принимают конечные значения.

Теорема. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функ­ция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы суммы Дарбу S и s этой функции удовлетворяли условию (5)

Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a; b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы (6)

где - разбиение отрезка [a; b], а - колебание функции f на отрезке , k=1, 2,…, k .

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a; b].

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - какая-либо ее первообразная на [a; b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула

Доказательство:

Пусть на отрезке [a;b] задана интегрируемая функция f(x). Зададим произвольное значение . Пусть функция F(x)- какая-нибудь первообразная для заданной функции f(x). Тогда она может быть получена по формуле .Таким образом, учитывая, что C=F(a), имеем: . Пологая теперь x=b получаем: . Откуда:

 

5. Основные понятия теории вероятности: классификация событий. Классические определения вероятности. Геометрические определения вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятности.

Теорией вероятности наз. мат. наука, изучающая закономерности в случайных событиях.

Классификация событий:

Событие – всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Его вероятность равна 1 (P=1).

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Его вероятность равна 0 (P=0).

Случайное событие – такое событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти (0<P<1).

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Противоположные события – событие А называют противоположным B, если результат его противоположен результату B. P(A) + P(B) =1

Классическое определение вероятности: вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый возможный результат – элементарный исход. Те элементарные исходы, в кот. интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими исходами. Т.о., событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. P(A)= , m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов.

Недостаток классического определения вероятности – оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для преодоления этого недостатка вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

P= .

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

P= .