Параметры и радиус сходимости

Сходимость: пусть есть ряда₁+а₂+…+а_n+… Его частичные суммы: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂ , …,Sn= a₁ +…. + a_n . Ряд сходится if , где S конечно.

Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Точка z=0 всегда лежит в области сходимости ряда (1). Если область сходимости отлична от одной точки z=0 и от всей плоскости (z), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходи­мости степенного ряда(1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне точек круга расходится.

 

Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Для каждого фиксированного z рассмотрим числовой ряд (3) и применим к нему признак Даламбера. Именно: если существует предел (4), то ряд (3) сходится, если и расходится, если . Отсюда заключаем, что если выполнено соотношение , то ряд (3) сходится абсолютно, а если имеет место неравенство , то ряд (1) как и ряд (3), расходится.

Т.о., для определения радиуса круга сходимости степенного ряда получаем формулу (5).

Если же к ряду (3) применим признак Коши то получим равенство

из которого заключаем, что ряд (3) сходится, если , и расходится, если . Т.о., радиус круга сходимости R ряда (1) определяется по формуле . (6) (формула Коши — Адамара.)

Радиус сходимости степенного ряда - Rcx= =

Критерий равномерной сходимости.

Для того, чтобы функциональный ряд(в частности степенной ряд) сходился равномерно в области D, необходимо и достаточно, чтобы и : при n>N

, p =0,1,2,3,…

Абсолютная сходимость: ряд а₁+а₂+…+а_n+… сходится абсолютно, если сходится ряд |а₁ |+|а₂ |+…+|а_n |+…

Непрерывность суммы

Свойство степенных рядов. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на интервале сходимости ряда. S(z) = z₀ + a₁z + a₂z² + … + a_nzⁿ + …

Причём, в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остаётся односторонне непрерывной.

Почленная дифференцируемость

Теорема1:. C тепенной ряд внутри интервала сходимости (|z|<R) имеет сумму S(x), к-я дифференцируема сколь угодно много раз. Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиус круга сходимости продифференцированных рядов также равен R.

S(x)= с₀ + с₁(z – z₀) + с₂(z – z₀)² + … + с_n(z – z₀)ⁿ + …

S’(x)= с₁ + с₂ *2*(z – z₀) + … + с_n *n*(z – z₀)^n-1 + …

Ряд Тейлора

Имеем степенной ряд . Обозначим через f(z) его сумму. Сходится в круге |z - |<R.

называется рядом Тейлора функции f(z) по степеням (z- ). Из почленной дифференцируемости имеем, что радиус сходимости тот же.

- эти выражения называются коэф­фициентами Тейлора функции f(z) в точке . В случае =0 этот ряд называется также рядом Маклорена функции f(z).

Первообразная и неопределённый интеграл. Определение первообразной. Определение неопределённого интеграла, его свойства. Определение интеграла по Риману. Необходимые и достаточные свойства интегрируемости. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть определены функции f(x) и F(x). F(x) – первообразная f(x), если F’(x) = f(x). F(x) + c – тоже первообразная f(x).

Неопределенный интеграл: - множество всех первообразных f(x).

Свойства неопределенного интеграла:

1)

2) d

3)

4) , где с – const