Оценка надежности результатов

Так же как и для множественной регрессии, можно сформулировать гипотезы о равенстве нулю параметров частных уравнений регрессии.

, частный -критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнений. В числе показан прирост доли объяснённой или факторной вариации за счет дополнительного включения в модель соответствующего фактора:

- - прирост факторной дисперсии за счет ;

… … …

- -прирост факторной дисперсии за счет .

В знаменателе указана доля остаточной вариации по регрессионной модели, включающей полный набор факторов. Числитель и знаменатель формулы приведены к сравнимому виду путем деления на число степеней свободы, соответственно, на 1 и .

В , так как прирост факторной суммы квадратов отклонений обусловлен дополнительным включением в модель одного исследуемого фактора, то число степеней свободы для него равно 1.

Если _, где =1, = , то дополнительное включение в модель фактора x_i в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии b_i при факторе x_i статистически значим.

Если , то дополнительное включение в модель фактора x_i не увеличивает существенно долю объяснённой вариации признака , значит, нецелесообразно включение его в модель.

С помощью частного - критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый коэффициент вводился последним в уравнение.

 

Таблица 18. Дисперсионный анализ для оценки факторов.

Источники вариаций	Число cтепеней свободы	Суммы квадратов отклонений	Дисперсии на одну степень свобод Д	.	.
общая		x	--	--	--
Факторная, в том числе за счет … за счет	…	x x … x	x x … x	x x … x	x x … x
остаточная		x	x	x	x

Средняя часть таблицы существенно меняется, в зависимости от того, какие гипотезы проверяются, так как во множественной регрессии источник вариации складывается из нескольких составляющих и каким образом проверяется действие включенных факторов, независимо, последовательно и в какой последовательности. Например: три переменных _{, ,} , то можно определить - критерий, частный, для уравнения с _, затем - критерий последовательного включения после и наконец_, - критерий, частный для уравнения с _{, ,} . Последовательный - критерий может интересовать лишь на стадии формирования модели. С критерием Стьюдента связан именно _част..

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по - критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных - критериев. В этом случае, аналогично парной регрессии:

= ,

β_i - коэффициент чистой регрессии при _;

- среднеквадратическая ошибка коэффициента регрессии β_i.

Для уравнения средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена так:

=

- средне квадратическое отклонение для y;

- средне квадратическое отклонение для _;

- коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии;

- коэффициент детерминации для зависимости фактора со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии.

– число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

Если проверяется регрессия:

Для фактора определим

Для фактора определим частный - критерий

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Задание 3.1. Имеются данные о заработной плате, возрасте, стаже работы по специальности и выработке по 15 рабочим цехам. Нужно установить влияние на заработную плату таких факторов, как возраст, стаж работы и выработка.

Решение.

1 этап -Предположим, что влияние всех из вышеперечисленных факторов имеет место быть. Для анализа влияния факторов построим эконометрическую модель.

2 этап – Результативным признаком в нашем примере является заработная плата, этот фактор мы обозначим за Y. Факторными признаками будут возраст, стаж работы и выработка, которые мы обозначим как x1, x2, x3 соответственно.

Что бы отобрать факторы для нашей модели, мы должны провести корреляционно-регрессионный анализ.

 

Таблица 19. Исходные данные к Заданию 3.1.

Исходные данные
№	Y	x1	x2	x3
	4,1
	4,8
	4,3
	3,8
	3,4
	4,9
	4,7
	5,1
	4,8
	3,9
	4,3
	3,4
	4,8
	3,6

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1) Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

2) Факторы не должны быть интеркоррелированы (т.е. между объясняющими переменными присутствует корреляция) и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией может привести к ненадежной оценке коэффициентов регрессии, так как нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретируемыми.

Для отбора факторов в модель построим матрицу парных коэффициентов корреляции.

Рис 3. Вставка функции КОРРЕЛ.

Чтобы вычислить коэффициенты корреляции между факторами, в ячейке пересечения факторов вызываем функцию КОРРЕЛ.

В ячейку массив1 выбираем массив значений одного из коррелируемых факторов, массив 2 – значения другого фактора.

 

Рис4. Аргументы функции КОРРЕЛ.

После составления матрицы парной корреляции, производим анализ полученных значений.

 

Рис 5. Матрица парной корреляции.

Наиболее тесная связь с результативным признаком Y фактора х3, поэтому мы включаем его в нашу модель.

Коэффициент парной регрессии между факторами х2 и х3 больше 0,7, следовательно факторы мультиколлинеарны, значит из модели фактор х2 мы исключаем.

Итак, для дальнейшего анализа в модели мы оставляем факторы х1 и х3.

3 этап -Для анализа нашей модели выбираем линейную форму связи:

y= b₁x₁+b₃x₃+a.

В данном уравнении нам необходимо рассчитать коэффициенты b₁, b₃ и a.

4 этап – Для определения параметров модели программой MS EXCEL предусмотрена функция ЛИНЕЙН (иногда встречаются случаи, когда часть переменных зависимы линейно, а другая часть не линейно, к таким переменным нужно применить линеаризацию).

Так как нам нужно найти 3 параметра, следовательно, нам нужно выделить на свободном месте листка EXCEL массив – 3 столбца, 5 строк. Вызываем мастер функции.

Рис 6. Аргументы функции ЛИНЕЙН.

В ячейку «Известные_значения_у» добавляем массив Y.

В ячейку «Известные_значения_х» добавляем массив х (так как на предыдущих этапах мы выбрали для модели х1 и х3, то добавляем в ячейку массивы х1 и х3, важно, чтобы столбцы с этими значениями располагались рядом друг с другом).

В ячейку «Конст» пишем 1.

В ячейку «Статистика» пишем 1.

Далее единовременным нажатие Gtrl+Shift+Enter сворачиваем мастер функций.

Таблица 20. Значения параметров линейной модели

 

0,033027	0,06453	2,043816
0,010806	0,018294	0,27533
0,851902	0,236603	#Н/Д
34,5137		#Н/Д
3,864227	0,671773	#Н/Д

 

 

Полученная таблица означает следующее:

b₁ = 0,033 b₃ = 0,065 a = 2,044/

Индекс детерминации = 0,852.

F_факт = 34,51.

5 этап – Анализ качества модели

Так как индекс детерминации равен 0,852, а это близко к 1, значит справедлив вывод – качество модели высокое.

F_факт = 34,51, проверяем с табличным значением Критерия Фишера. Так как полученное нами значение больше табличного, модель статистически значима.

6 этап – Интерпретация результатов моделирования

y = 0,033 x₁+0,065 x₃+2,044.

Так как перед x₁ и x₃ коэффициенты имеют знак «+», то x₁, x₃ и у изменяются в одном направлении.

 

При изменении x₁ на 1, у увеличится на 0,033 ед.

При изменении x₃ на 1, у увеличится на 0,065 ед.

 

7 этап – Чтобы построить прогноз произведем расчеты

Рассчитаем модельное, подставив в y = 0,033 x₁+0,065 x₃+2,044 значения x₁ и x_3.

Талица 21. Расчет промежуточных величин

Средняя ошибка аппроксимации составила 4,39% (<7%), следовательно модель не содержит систематических ошибок и можно составлять прогноз.

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

 

Задание 3.

 

По 20 предприятиям региона (табл. 22) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных средств (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Таблица 22. Исходные данные к Заданию 3.

Номер предприятия	у			Номер предприятия	у
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.

2. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

3. Написать уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.

 

Задание 4.

 

В табл. 23 представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге.

Таблица 23. Исходные данные к Заданию 4.

№ п/п									y
1	1	1	39,0	20,0	8,2	0	1	0	15,9
2	3	1	68,4	40,5	10,7	0	1	0	27,0
3	1	1	34,8	16,0	10,7	0	1	12	13,5
4	1	1	39,0	20,0	8,5	0	1	12	15,1
5	2	1	54,7	28,0	10,7	0	1	12	21,1
6	3	1	74,7	46,3	10,7	0	1	12	28,7
7	3	1	71,7	45,9	10,7	0	0	0	27,2
8	3	1	74,5	47,5	10,4	0	0	0	28,3
9	4	1	137,7	87,2	14,6	0	1	0	52,3
10	1	1	40,0	17,7	11,0	1	1	8	22,0
11	2	1	53,0	31,1	10,0	1	1	8	28,0
12	3	1	86,0	48,7	14,0	1	1	8	45,0
13	4	1	98,0	65,8	13,0	1	1	8	51,0
14	2	1	62,6	21,4	11,0	1	1	0	34,4
15	1	1	45,3	20,6	10,4	1	1	8	24,7
16	2	1	56,4	29,7	9,4	1	1	8	30,8
17	1	1	37,0	17,8	8,3	0	1	0	15,9
18	3	1	67,5	43,5	8,3	0	1	0	39,0
19	1	1	37,0	17,8	8,3	0	1	3	15,4
20	3	1	69,0	42,4	8,3	0	1	3	28,6
21	1	1	40,0	20,0	8,3	0	0	0	15,6
22	3	1	69,1	41,3	8,3	0	1	0	27,7
23	2	1	68,1	35,4	13,0	1	1	20	34,1
24	2	1	75,3	41,4	12,1	1	1	20	37,7
25	3	1	83,7	48,5	12,1	1	1	20	41,9
26	1	1	48,7	22,3	12,4	1	1	20	24,4
27	1	1	39,9	18,0	8,1	1	0	0	21,3
28	2	1	68,6	35,5	17,0	1	1	12	36,7
29	1	1	39,0	20,0	9,2	1	0	0	21,5
30	2	1	48,6	31,0	8,0	1	0	0	26,4
31	3	1	98,0	56,0	22,0	1	0	0	53,9
32	2	1	68,5	30,7	8,3	1	1	6	34,2
33	2	1	71,1	36,2	13,3	1	1	6	35,6
34	3	1	68,0	41,0	8,0	1	1	12	34,0
35	1	1	38,0	19,0	7,4	1	1	12	19,0
36	2	1	93,2	49,5	14,0	1	1	12	46,6
37	3	2	117,0	55,2	25,0	1	1	12	58,5
38	1	2	42,0	21,0	10,2	1	0	12	24,2
39	2	2	62,0	35,0	11,0	1	0	12	35,7
40	3	2	89,0	52,3	11,5	1	1	12	51,2
41	4	2	132,0	89,6	11,0	1	1	12	75,9
42	1	2	40,8	19,2	10,1	1	1	6	21,2
43	2	2	59,2	31,9	11,2	1	1	6	30,8
44	3	2	65,4	38,9	9,3	1	1	6	34,0
45	2	2	60,2	36,3	10,9	1	1	12	31,9
46	3	2	82,2	49,7	13,8	1	1	12	43,6
47	3	3	98,4	52,3	15,3	1	1	12	52,2
48	3	3	76,7	44,7	8,0	1	1	0	43,1
49	1	3	38,7	20,0	10,2	1	1	6	25,0
50	2	3	56,4	32,7	10,1	1	1	6	35,2
51	3	3	76,7	44,7	8,0	1	1	6	40,8
52	1	3	38,7	20,0	10,2	1	0	0	18,2
53	1	3	41,5	20,0	10,2	1	1	0	2,1
54	2	3	48,8	28,5	8,0	1	0	0	22,7
55	2	3	57,4	33,5	10,1	1	1	0	27,6
56	3	3	76,7	44,7	8,0	1	1	0	36,0
57	1	4	37,0	17,5	8,3	0	1	7	17,8
58	2	4	54,0	30,5	8,3	0	1	7	25,9
59	3	4	68,0	42,5	8,3	0	1	7	32,6
60	1	4	40,5	16,0	11,0	0	1	3	19,8
61	2	4	61,0	31,0	11,0	0	1	3	29,9
62	3	3	80,0	45,6	11,0	0	1	3	39,2
63	1	3	52,0	21,2	11,2	1	1	18	22,4
64	2	3	78,1	40,0	11,6	1	1	18	35,2
65	3	4	91,6	53,8	16,0	1	0	18	41,2
66	1	4	39,9	19,3	8,4	0	1	6	17,8
67	2	4	56,2	31,4	11,1	0	1	6	25,0
68	3	4	79,1	42,4	15,5	0	1	6	35,2
69	4	4	91,6	55,2	9,4	0	1	6	40,8

Принятые в таблице обозначении:

y- цена квартиры, тыс. у.е.;

- число комнат в квартире;

- район города (1 - Приморский, Шувалово - Озерки, 2 - Гражданка, 3 - Юго-Запад, 4 - Красносельский);

- общая площадь квартиры (м2);

. - жилая площадь квартиры(м1);

- площадь кухни (м2);

- тип дома (1- кирпичный, 0 - другой);

- наличие балкона (1-есть, 0- нет);

- число месяцев до окончания срока строительства.

Задание:

1. Определите факторы, формировавшие цену квартир в строящихся домах в Санкт-Петербурге. Сформируйте фиктивную переменную z, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы: квартиры на севере города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка) и на юге города (Юго-Запад, Красносельский район).

2. Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции:

а) исходных переменных;

б) логарифмов исходных переменных (кроме фиктивных переменных). Вместо переменной используйте фиктивную переменную z.

3. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в линейной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

*4. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в степенной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны. В какой модели мультиколлинеарность проявляется сильнее?

5. Существует ли разница в ценах квартир, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга? Является ли наличие балкона или лоджии преимуществом квартиры на рынке?

*- задание повышенной сложности.

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

Сформулировать гипотезу о взаимосвязи нескольких экономических показателях и провести эконометрическое исследование, построив модель множественной регрессии, на основе реальных статистических данных, полученных из официальных источников статистической информации (Государственного комитета статистики РФ, международных финансовых организаций и др.).

 

*- По результатам проведенного эконометрического исследования подготовить научную статью для публикации в периодических научных изданиях.