Интерпретация результатов моделирования

 

В линейной эконометрической модели свободный член экономического смысла не имеет.

Коэффициент называется коэффициентом регрессии по . Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу своего измерения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная).

Значительный интерес для экономических исследований представляют коэффициенты эластичности, найденные по уравнениям регрессии. Т.к. коэффициент Э не всегда const, то используем среднее значение - .

 

Таблица 2. Нахождение коэффициентов эластичности

 

y

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько % в среднем по совокупности изменится результат от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения

- характеризует соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.

В таблице представлены формулы для нахождения коэффициента эластичности для наиболее часто встречающихся функций.

 

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАВИСИМОГО ПРИЗНАКА Y

Если модель регрессии значима в целом, предположение о незначимости отклоняется по всем параметрам функции регрессии, не нарушены предпосылки МНК, то модель может быть использована для анализа и прогнозов количественного показателя экономики.

Условно «лучшей» моделью для анализа и прогнозов исследуемого показателя можно считать ту, для которой:

v показатель детерминации – выше,

v стандартная ошибка – меньше,

v доверительный интервал прогноза уже.

Различают точечный и доверительный (интервальный) прогнозы моделируемого показателя (y).

Точечный прогноз показателя определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения .

Интервальный прогноз показателя с заданной доверительной вероятностью (P=a-1) имеет вид:

 

, где .

 

Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

и строится доверительный интервал прогноза

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Задача 1. При исследовании 8 магазинов получены следующие данные (табл.3).

1. Построить регрессионную модель зависимости объема товарооборота от числа работников.

2. Проверить значимость модели и коэффициентов модели.

3. Рассчитать коэффициент эластичности и дать ему экономическую интерпретацию.

4. Построить 95% доверительный интервал для оценки объема товарооборота отдельного магазина со 100 работниками.

Таблица 3. Исходные данные к Задаче 1.

 

Наблюдение	Объем товарооборота, млн. руб.	Число работников
	0,5
	0,7
	0,9
	1,1
	1,4
	1,4
	1,7
	1,9

 

Решение:

a. Проведем спецификацию модели графическим методом.

Поскольку необходимо найти зависимость объема товарооборота от числа работников, то в качестве Y – принимаем Объем товарооборота, X - Число работников.

 

Рисунок 2. Спецификация модели

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Для оценки параметров a и b - используют МНК (метод наименьших квадратов).

b. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние:

,

 

Таблица 4. Расчет параметров модели

	x	y	x^2	y^2	x•y
		0.5		0.25	36.5
		0.7		0.49	59.5
		0.9		0.81	91.8
		1.1		1.21	126.5
		1.4		1.96	170.8
		1.4		1.96	176.4
		1.7		2.89	227.8
		1.9		3.61	279.3
сумма		9.6		13.18	1168.6

Используя формулы (6) и (7), получаем коэффициенты регрессии:

b = 0.0192, a = -0.97. (b>0, следовательно связь прямая)

Уравнение регрессии: y = 0.0192 x - 0.97,

Величина коэффициента b говорит о том, что с ростом числа работников на 1 человека, объем товарооборота магазина будет увеличиваться на 0,0192 млн. руб.

c. Теснота связи.

Среднеквадратическое отклонение:

,

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

В нашем примере связь между признаком Y и фактором X (по шкале Чеддока) весьма высокая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Незначительные отклонения в расчетных величинах возможны из-за округления величин.

d. Коэффициент детерминации.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (модельные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

=0,9712,

т.е. в 97.12 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 2.88 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Таблица 5. Расчет промежуточных величин для оценки качества модели

	(yi-ycp)^2	(y- )^2	(xi-xcp)^2	|y - |/y
0.43	0.49	0.004832		0.14
0.66	0.25	0.001495		0.0552
0.99	0.09	0.007812		0.0982
1.24	0.01	0.0192		0.13
1.37	0.04	0.000721		0.0192
1.45	0.04	0.002509		0.0358
1.6	0.25	0.009217		0.0565
1.85	0.49	0.002108		0.0242
9.6	1.66	0.0479		0.55

 

5. Критерий Фишера.

.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=6 (8-1-1), F_табл = 5.99

Поскольку фактическое значение F_факт > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

6. Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

7. Проверка статистической значимости параметров.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

- необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

- стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Стандартное отклонение случайной величины a:

Стандартное отклонение случайной величины b:

Поскольку 14.12 > 2.447, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 6.2 > 2.447, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

8. Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежностью 95% будут следующими:

(b – t_табл m_b; b + t_табл m_b) = (0.0192 - 2.447 • 0.00136; 0.0192 + 2.447 • 0.00136) =

= (0.0158;0.0225)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будет лежать в найденном интервале.

(a – t_табл m_a; a + t_табл m_a) = (-0.9739 - 2.447 • 0.156; -0.9739 + 2.447 • 0.156) =

= (-1.356;-0.5922)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будет лежать в найденном интервале.

9. Коэффициент эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

 

10. Интервальный прогноз.

Точечный прогноз показателя определяется путем подстановки в уравнение регрессии 0.0192 x - 0.97 соответствующего прогнозного значения =100.

Далее вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :

 

 

Строится доверительный интервал прогноза:

 

 

Задача 2. Имеются данные о количестве выпускаемой продукции в тыс. штук (x) и ее себестоимостью в у.е. (y).

 

Таблица 6. Исходные данные к Задаче 2.

№	X	Y		№	X	Y
	2,50	4,40			6,00	1,50
	3,00	3,60			6,50	1,40
	3,30	3,00			7,00	1,30
	4,00	2,70			7,50	1,20
	4,60	2,10			8,00	1,10
	5,00	1,80			8,50	1,10
	5,40	1,90			8,90	0,90

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

3. Выбрать лучшую модель для прогноза.

 

Проведем спецификацию модели графическим методом.

 

Рисунок 3. Поле корреляции к Задаче 2.

 

Построим линейную и нелинейные регрессии и оценим их качество.

 

 

A. Линейная модель.

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a=b*x рассчитываем , , , , .

 

Таблица 7. Расчет параметров линейной модели.

	xy	x^2	y^2
	11,000	6,25	19,36
	10,800	9,00	12,96
	9,900	10,89	9,00
	10,800	16,00	7,29
	9,660	21,16	4,41
	9,000	25,00	3,24
	10,260	29,16	3,61
	9,000	36,00	2,25
	9,100	42,25	1,96
	9,100	49,00	1,69
	9,000	56,25	1,44
	8,800	64,00	1,21
	9,350	72,25	1,21
	8,010	79,21	0,81

 

Уравнение регрессии: .

C увеличением количества выпускаемой продукции на 1 тыс., ее себестоимость снижается в среднем на 0,4671 у.е.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции. ; .

Среднеквадратическое отклонение:

; .

.

Связь обратная и весьма высокая.

Определим коэффициент детерминации:

.

Вариация результата на 86% объясняется вариацией фактора x.

Таблица 7. Расчет промежуточных величин для оценки качества линейной модели

	y-	-	( - )^2	y-	(y- )^2	│y- │/y
3,51	0,89	1,508	2,274	2,40	5,760	0,203
3,27	0,33	1,275	1,624	1,60	2,560	0,090
3,13	-0,13	1,134	1,287	1,00	1,000	0,045
2,81	-0,11	0,807	0,652	0,70	0,490	0,040
2,53	-0,43	0,527	0,278	0,10	0,010	0,203
2,34	-0,54	0,340	0,116	-0,20	0,040	0,300
2,15	-0,25	0,153	0,024	-0,10	0,010	0,133
1,87	-0,37	-0,127	0,016	-0,50	0,250	0,249
1,64	-0,24	-0,360	0,130	-0,60	0,360	0,171
1,41	-0,11	-0,594	0,353	-0,70	0,490	0,082
1,17	0,03	-0,827	0,685	-0,80	0,640	0,023
0,94	0,16	-1,061	1,126	-0,90	0,810	0,146
0,71	0,39	-1,295	1,676	-0,90	0,810	0,359
0,52	0,38	-1,481	2,194	-1,10	1,210	0,424

Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

.

Рассчитываем F - критерий:

F_табл = 4,7472.

Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо.

B. Степенная модель.

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Где Y=lg y, X= lg x, C= lg a.

Для расчетов используем данные Таблицы 8.

Таблица 8. Расчет параметров степенной модели.

X	Y	XY	X^2	Y^2
0,398	0,643	0,256	0,158	0,414
0,477	0,556	0,265	0,228	0,309
0,519	0,477	0,247	0,269	0,228
0,602	0,431	0,260	0,362	0,186
0,663	0,322	0,214	0,439	0,104
0,699	0,255	0,178	0,489	0,065
0,732	0,279	0,204	0,536	0,078
0,778	0,176	0,137	0,606	0,031
0,813	0,146	0,119	0,661	0,021
0,845	0,114	0,096	0,714	0,013
0,875	0,079	0,069	0,766	0,006
0,903	0,041	0,037	0,816	0,002
0,929	0,041	0,038	0,864	0,002
0,949	-0,046	-0,043	0,901	0,002
ЛОГАРИФМЫ
10,18	3,52	2,079	7,81	1,46
0,73	0,25	0,148	0,56	0,10

 

 

Сумма

Среднее

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: .

Выполнив его потенцирование, получим:

.

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитываем показатели: тесноты связи - индекс корреляции R и среднюю оценку аппроксимации .

.

Связь весьма высокая.

Определим индекс детерминации:

Вариация результата на 99% объясняется вариацией фактора x.

= 3,6 %.

Расчетные значения в среднем откланяются от фактических на 3,6 %.

Таблица 9. Расчет величин для оценки качества степенной модели.

ŷ	(y-ŷ)^2	ŷ−yср	(ŷ−y ср)^2	y-yср	(y-yср)^2	│y-ŷ│/y
4,41	0,000	2,406	5,789	2,40	5,760	0,001
3,54	0,003	1,545	2,387	1,60	2,560	0,015
3,16	0,027	1,164	1,355	1,00	1,000	0,055
2,52	0,034	0,515	0,266	0,70	0,490	0,068
2,13	0,001	0,129	0,017	0,10	0,010	0,014
1,93	0,016	-0,072	0,005	-0,20	0,040	0,071
1,76	0,020	-0,241	0,058	-0,10	0,010	0,074
1,55	0,003	-0,449	0,202	-0,50	0,250	0,034
1,41	0,000	-0,590	0,348	-0,60	0,360	0,007
1,29	0,000	-0,709	0,503	-0,70	0,490	0,007
1,19	0,000	-0,811	0,658	-0,80	0,640	0,009
1,10	0,000	-0,899	0,809	-0,90	0,810	0,001
1,02	0,006	-0,976	0,953	-0,90	0,810	0,069
0,97	0,005	-1,031	1,063	-1,10	1,210	0,077
27,98	0,115	-0,02	14,4125	0,0000	14,44	0,50
2,00	0,008	0,00	1,0295	0,0000	1,03	0,04

 

Рассчитываем F - критерий:

.

F_табл = 4,7472.

Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.