Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрически комплексные числа складываются по правилу параллелограмма. Но складывать или вычитать два комплексных числа в тригонометрической форме записи крайне затруднительно. Поэтому данные операции в тригонометрической форме записи мы рассматривать не будем.

1. Умножение.

Правило. При перемножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление.

Правило. При делении комплексных чисел в тригонометрической форме записи их модули соответственно делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень.

Правило. При возведении в n-ую степень комплексного числа в тригонометрической форме записи нужно возвести в n-ую степень модуль, а аргумент умножить на число n.формула Муавра.

4. Извлечение корня.

Правило. Чтобы извлечь корень n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме записи, нужно извлечь корень n-ой степени из модуля этого комплексного числа, а к аргументу прибавить 2πk и полученную сумму разделить на n

Определители и их свойства.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы (иногда их называют колонками). Строки и столбцы часто называют собирательным термином «ряды матрицы». Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами – a_ij; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент a_ij, а второй индекс j означает номер столбца матрицы, в котором стоит a_ij. Матрицы символически обозначают заключёнными в круглые или квадратные скобки, или двойные вертикальные черточки. (Кратко: (a_ij) или IIa_ij II).

Каждой квадратной матрице, элементами которой являются числа, ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.

Опр. Определитель (детерминант) n-го порядка – алгебраическая сумма n! слагаемых членов из элементов квадратной матрицы (таблицы), которое вычисляется по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение n элементов взятых по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Каждый член определителя берётся со знаком (-1)^t, где t – число инверсий во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке.

Свойства определителя

Определитель обладает рядом свойств:

1) Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).2) Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

4) Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого

6. Свойства 8 и 9 определителей. Метод Крамера. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

го из трёх определителей одинаковы.

5) Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

6) Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

7) Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

Правило Крамера: правило решения системы n линейных уравнений. с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение. Это решение единственное и определяется таким правилом Крамера: значение каждого из неизвестных , где - определитель системы., матрица которого составлена из коэффициентов при неизвестных системы, а _I – определитель, матрица которого получена заменой столбца коэффициентов при данном неизвестном на столбец свободных членов системы. В случае если определитель системы равен нулю, система имеет бесконечно много решений.