Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

Матрица линейногопреобразования имеет диагональный вид

Тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица. Называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Такая, что матрица Является диагональной. Следовательно, если матрица Приводима к диагональному виду, то

Где - характеристические числа матрицы

Т е ор е м а 10.7. Матрица Линейногопреобразования -мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов данного преобразования.

Если все собственные числа матрицы Попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.

Действия над линейными операторами

Во множестве всех операторов, действующих из L1 в L2 можно определить операции суммы таких операторов и умножения на скаляр:

А) суммой двух операторов и назовем оператор ( + ), для которого ( + ) х = Х + Х;

Б) произведением оператора на скаляр l назовем оператор l , для которого (l ) х = l( х);

В) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0×х = 0 для любого Х;

Г) для каждого оператора определим противоположный оператор - посредством соотношения - = (-1) × .

55. Невырожденные линейные преобразования

Линейное преобразование называется невырожденным, если его матрица является невырожденной; в противном случае линейное преобразование называется вырожденным.

Теорема 10.10. Линейное преобразование является невырожденным тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно.

Следствие. Линейное невырожденное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой; обратно также верно: если линейное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой, то оно будет невырожденным.

Ортогональные матрицы

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

57. Ортогональные преобразования

Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где — сопряжённое, а — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство (*), где — транспонированная, а — обратная матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований равны или , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
• Определитель ортогонального преобразования равен (собственное ортогональное преобразование) или (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

58. Квадратичные формы. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Линейное преобразование (1) переменных называется неособенным, если его матрица С неособенная (det C.

Если линейное преобразование с матрицей С неособенное, то существует обратная матрица С^-1 и преобразование У=С^-1∙Х называется обратным преобразованием переменных.

Определение 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования называются собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования.

Если в квадратичной форме с матрицей А сделано неособенное линейное преобразование переменных Х = С∙ У, то новая квадратичная форма имеет матрицу В = С^Т∙А∙С.