Полярная система координат. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Полярная система координат(в тетрадке) — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку ^.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число может быть записано в прямоугольной форме так:

где — мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше):

и отсюда:

где — число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны^[15] (Следует отметить, что в этой формуле, подобно остальным формулам, содержащим возведения в степень углов, угол задан в радианах)

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться указанные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведения в степень с комплексными числами, как правило, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

• Умножение:

• Деление:

• Возведение в степень (формула Муавра):

Тригонометрическая форма

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Пусть задано комплексное число . Как известно, его можно изобразить на комплексной плоскости точкой, абсцисса которой равна действительной части этого числа, то есть , а ордината - мнимой части (рис. 1).

Абсциссу и ординату комплексного числа можно выразить через модуль и аргумент следующим образом:

В данном случае и удовлетворяют соотношениям:

Тогда

Таким образом, для всякого комплексного числа справедливо равенство

которое называется тригонометрической формой комплексного числа .