Матрица оператора в различных базисах. Подобные матрицы

Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу A, в базисе - матрицу B, а S - матрица перехода от первого базиса ко второму, то

Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что:

Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных координатных системах; при этом матрица Р является матрицей перехода от одной системы к другой.

Если две матрицы подобны, то говорят, что одна из матриц может быть получена преобразованием подобия из другой. Если при этом одна из матриц диагональная, то про вторую матрицу говорят, что она может быть диагонализована.

Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора

Определитель стоящий в левой части уравнения (4) образует многочлен n-ой степени относительно, он называется характеристическим многочленом, а уравнение (4) характеристическим уравнением линейного оператора.

Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор соответствующим собственным вектором линейного оператора , если они связаны между собой соотношением .

 

Собственные векторы и значение симметричной матрицы.

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Пусть — линейное пространство над полем , — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. она равна её транспонированной матрице:

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу: