Раздел 1. Основные свойства жидкости

ТЕМА 1.1. Текучесть. Плотность и удельный вес

• Жидкость – сплошная среда, обладающая способностью изменять свою форму под действием весьма незначительных сил.

• Текучесть – это легкоподвижность частиц жидкости, обусловленная её неспособностью воспринимать касательные напряжения в состоянии покоя. Жидкость не может сохранять собственную форму (в отличие от твёрдого тела), она принимает форму сосуда (резервуара, водоёма), в котором она находится.

• Плотность ρ численно равна отношению массы m тела к его объёму W:

. (1.1.1)

Единица измерения плотности [ ρ ] = кг/м³. График температурной зависимости плотности воды показан на рис. 1.1.1.

 

Рис. 1.1.1. Температурная зависимость плотности воды.

 

• При температуре t = 4 °C плотность воды максимальна ρ = 1000 кг/м³. При температуре t = 0 °C плотность воды ρ = 999,9 кг/м³. Плотность льда при той же температуре колеблется от 880 до 920 кг/м³, благодаря чему лёд плавает в воде.

• Относительное изменение плотности жидкости при её нагревании

. (1.1.2)

Температурный коэффициент объёмного расширения воды при t = 10…20 °C

β_t = 0,00015 К^-1.

• Удельный вес γ численно равен отношению массы веса G = mg тела к его объёму W:

, (1.1.2)

где g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения. Единица измерения удельного веса [ γ ] = Н/м³. При температуре t = 4 °C удельный вес воды максимален γ = 9810 Н/м³.

Пример 1.1.1. В отопительный котёл (рис. 1.1.2) поступает объём воды W = 50 м³ при температуре 70 °C. Какой объём воды W ₁ будет выходить из котла при нагреве воды до 90 °C? Коэффициент температурного расширения воды в заданном диапазоне температур β_t = 600·10^-6 К ^-1.

Решение. Изменение объёма Δ W = β_tW ·Δ t = 600·10^-6·50·(90–70) = 0,6 м³;

Выходит из котла объём W ₁ = W + Δ W = 50 + 0,6 = 50,6 м³.

 

Рис. 1.1.2. Система отопления.

 

ТЕМА 1.2. Вязкость

• Вязкость жидкости – это её свойство оказывать сопротивление относительному движению (сдвигу) частиц жидкости. Силы трения, возникающие между скользящими друг относительно друга слоями жидкости, называются силами внутреннего трения или силами вязкости. Эти силы направлены по касательной к плоскости скольжения и направлены в сторону противоположную относительному перемещению.

• Касательное напряжение τ численно равно отношению силы вязкости T к площади ω соприкосновения двух движущихся друг относительно друга слоёв жидкости:

. (1.2.1)

Единица измерения касательного напряжения [ τ ] = Н/м² = Па.

• Градиент скорости du/dn перемещения слоёв жидкости численно равен отношению изменения du скорости движения близко расположенных слоёв жидкости к расстоянию dn между слоями, измеряемому вдоль нормали к плоскости скольжения слоёв (рис. 1.2.1).

 

Рис. 1.2.1. Силы вязкости.

 

• Закон Ньютона: касательное напряжение τ пропорционально градиенту скорости перемещения слоёв жидкости:

, (1.2.2)

где ν – величина, количественно характеризующая вязкость жидкости и называемая кинематической вязкостью. Единица измерения кинематической вязкости [ ν ] = м²/с. Температурная зависимость кинематической вязкости представлена на рис. 1.2.2. Для компьютерных расчётов удобнее воспользоваться эмпирической формулой

. (1.2.3)

При температуре t = 20 °C кинематической вязкость воды ν = 1,01·10^-6 м²/с, при температуре t = 10 °C кинематической вязкость воды ν = 1,31·10^-6 м²/с.

 

Рис. 1.2.2. Температурная зависимость кинематической вязкости воды.

 

Вязкость жидкостей измеряется вискозиметрами. В вискозиметре Энглера (рис. 1.2.3) воронка при закрытом кране наполняется водой при температуре 20°С. Открыв кран, дают вытечь 200 см³ воды, измеряя время её истечения по секундомеру. После тщательной просушки воронки её заполняют исследуемой жидкостью и повторяют эксперимент. Отношение времени истечения исследуемой жидкости ко времени истечения воды при температуре 20°С даёт величину вязкости в градусах Энглера ν _E.

Для перехода к кинематической вязкости в м²/с пользуются формулой Убеллоде:

. (1.2.4)

 

Рис. 1.2.3. Вискозиметр Энглера.

ТЕМА 1.3. Давление

• Выделим мысленно в жидкости некоторый объём W. На поверхности этого объёма возьмём бесконечно малую площадку dω. На эту площадку извне, со стороны соприкасающихся слоёв жидкости, действует поверхностная сила dR. Разложим эту силу на нормальную dP и касательную dT (рис. 1.3.1). Абсолютное давление p _абс численно равно отношению нормальной силы dP, действующей на площадку, к площади dω площадки:

. (1.3.1)

Единица измерения давления [ p ] = Н/м² = Па.

• При увеличении расстояния между молекулами возникают силы межмолекулярного притяжения. Поэтому прочность жидкости на разрыв характеризуется весьма большими значениями. Однако наличие в жидкости мельчайших твёрдых частиц и пузырьков воздуха приводит к резкому её уменьшению (практически до нуля). Отсюда следует, что сила гидростатического давления всегда направлена по внутренней нормали к площадке, на которую она действует.

• В водопроводных системах не допускается абсолютное давление ниже 30 кПа, так как при меньшем давлении вода превращается в пар уже при температуре ниже 70°C.

 

Рис. 1.3.1. Силы, действующие на элементарную площадку.

 

• Атмосферное давление – это давление атмосферного воздуха. Нормальное атмосферное давление (среднее давление на уровне моря) p _атм = 1,013·10⁵ Па.

• Манометрическое (или избыточное) давление – это превышение абсолютного давления над атмосферным:

p = p _абс – p _атм. (1.3.2)

В дальнейшем под термином «давление» мы будем понимать именно манометрическое давление.

• Состояние жидкости или газа под давлением ниже атмосферного называется вакуумом. Недостача абсолютного давления до атмосферного называется вакуумметрическим давлением:

p _вак = p _атм – p _абс. (1.3.3)

• Изменение объёма жидкости под действием приложенного к ней давления

, (1.3.4)

где β_p – коэффициент объёмного сжатия, E_V – модуль объёмной упругости жидкости. Для воды β_p = 4,84·10^-10 Па^-1; E_V = 2·10⁹ Па.

• Жидкость под давлением, как и любое упруго деформированное тело, обладает потенциальной энергией, называемой энергией давления. Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является цилиндр с поршнем (рис. 1.3.2). Пусть площадь поршня равна S, его ход L, избыточное давление жидкости в левой полости цилиндра равно p, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. При перемещении поршня из левого положения, давление совершает работу А = pSL. Расход жидкости, которую необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы за время t, равен объему цилиндра, т. е. Qt = SL. Удельная энергия давления, приходящаяся на единицу веса жидкости,

(1.3.5)

 

Рис. 1.3.2. Преобразование энергии давления в цилиндре.

 

Пример 1.3.1. При гидравлическом испытании систем водоснабжения допускается падение испытательного давления Δ р = – 49 кПа в течение 10 мин. Определить допустимую величину утечки Δ W в течение 10 мин при гидравлическом испытании системы вместимостью W = 80 м³.

Решение. Жидкость находится в сосуде объёмом W под давлением p (рис. 1.3.3). Утечка Δ W означает, что объём жидкости увеличился до W + Δ W, а давление уменьшилось до p – Δ р.

Утечка Δ W = – β_pW Δ p = 4,84·10^-10·80·49·10³ = 1,90·10^{-3 м3}.

 

Рис. 1.3.3. Утечка при гидравлическом испытании системы водоснабжения.

 

ТЕМА 1.4. Уравнения Эйлера

• Массовые силы – это силы, пропорциональные массе тела. К ним относятся сила тяжести mg и сила инерции – ma, действующая в неинерциальной системе отсчета с ускорением a относительно инерциальных систем отсчёта.

• Выделим в жидкости малый прямоугольный параллелепипед с рёбрами, ориентированными вдоль координатных осей x, y, z (рис. 1.4.1). По 2-му закону Ньютона для проекций на ось абсцисс

, (1.4.1)

где u – скорость движения жидкости. Подставив выражения для сил и массы, получим:

, (1.4.2)

где pdydz – сила давления, действующая на левую грань параллелепипеда; ∂p/∂x – частная производная от давления, характеризующая изменение давления на единицу длины вдоль оси x; – сила давления, действующая на правую грань параллелепипеда; ρdxdydz – масса параллелепипеда; X – проекция ускорения массовой силы на ось x. Отсюда

. (1.4.3)

Рис. 1.4.1. Выделенный в объёме жидкости параллелепипед.

 

• Выписав аналогичные уравнения для осей y и z, получим систему уравнений Эйлера:

(1.4.4)

где Y и Z – проекции ускорений массовых сил на оси y и z.

РАЗДЕЛ 2. ГИДРОСТАТИКА