Тема 3. 4. Потери напора по длине

• На преодоление сопротивления трения затрачивается потенциальная энергия, происходит потеря напора (давления). Потеря напора на трение по длине определяется обобщенной формулой Дарси-Вейсбаха:

(3.4.1)

где l – длина трубопровода, D – его диаметр, V ²/(2 g) – скоростной напор.

• Безразмерный коэффициент λ называется коэффициентом гидравлического трения.

• Удельное сопротивление трубы

. (3.4.2))

• Коэффициент гидравлического трения при ламинарном режиме движения находят по формуле Пуазейля:

. (3.4.3)

• При турбулентном режиме движения гидравлический коэффициент трения вычисляется по формуле Альтшуля

λ = 0,11(Δ _eq/ D _eq + 68/ Re)^0,25. (3.4.4)

• Эквивалентная шероховатость Δ _eq, измеряемая в единицах длины, служит некоторой усреднённой мерой высоты выступов шероховатости на поверхности трубы, их формы и расстояния между ними. Эта величина определяется экспериментально и приводится в справочниках. Значения эквивалентной шероховатости для некоторых труб приведены в табл. 3.4.1.

 

Таблица 3.4.1. Эквивалентные шероховатости труб.

Трубы	Δ eq, мм
Стальные цельнотянутые, новые То же, неновые (бывшие в эксплуатации) Стальные сварные новые Чугунные новые Чугунные и стальные сварные неновые Бетонные и железобетонные	0,02…0,05 0,15…0,3 0,04…0,1 0,25…1,0 0,8…1,5 0,3…0,8

 

• На графике Мурина (рис. 3.4.1) кривая (a) соответствует области гидравлически гладких труб. Здесь первым слагаемым в формуле Альтшуля можно пренебречь. Получаем формулу Блазиуса:

. (3.4.5)

• При больших числах Рейнольдса, в области c графика Мурина, можно пренебречь вторым слагаемым. Получаем формулу Шифринсона:

λ = 0,11(Δ _eq/ D _eq)^0,25. (3.4.6)

Подстановка в формулу Дарси–Вейсбаха (3.4.1) даёт: h_l ~ V ². Поэтому эта область называется квадратичной областью сопротивления или областью гидравлически шероховатых труб.

• В переходном диапазоне сопротивления, в области b графика Мурина, пользуются формулой Альтшуля (3.4.4).

 

Рис. 3.4.1. График Мурина.

 

• Для гидравлического расчета водопроводов пользуются таблицами [Шевелев Ф.А., Шевелев А.Ф. Таблицы для гидравлического расчёта водопроводных труб. – М.: Стройиздат, 1984. – 116 с.]. Для каждого диаметра D при различных значениях расхода Q приводятся значения средней скорости V и гидравлического уклона i = h_l/l (потери напора на единицу длины трубы). Приводим фрагмент одной из этих таблиц для пластмассовых труб [9, с. 102] (табл. 3.4.2). Жирными линиями выделены экономически выгодные диапазоны параметров. Увеличив диаметр трубы, мы уменьшаем потери напора, а следовательно, и эксплуатационные расходы. Но при этом возрастает стоимость трубопровода.

 

Таблица 3.4.2. Фрагмент таблицы Шевелевых для пластмассовых труб.

Q, л/с	D, мм
V, м/с	1000 i	V, м/с	1000 i	V, м/с	1000 i
10,00 10,25	1,22 1,25	15,9 16,7	0,97 0,99	9,23 9,64	0,744 0,76	4,91 5,13
10,50 10,75 11,00	1,28 1,31 1,34	17,4 18,1 18,9	1,02 1,04 1,07	10,1 10,5 10,9	0,78 0,80 0,82	5,35 5,58 5,81

 

Пример 3.4.1. Определить эквивалентную шероховатость Δ _eq чугунной трубы. Диаметр трубы D = 65 мм, Расход Q = 10,5 л/с. Разность отметок пьезометров, размещенных на расстоянии l = 1 м друг от друга, равна h_l = 33 см. Кинематическая вязкость воды при температуре 20°C равна ν = 1,01·10^-6 м²/с.

Решение. Площадь сечения ω = πD ²/4 = 3,14∙0,065²/4 = 0,00332 м².

Средняя скорость V = Q/ω = 0,0105/0,00332 = 3,16 м/с.

Число Рейнольдса Re = VD/ν = 3,16∙0,065/(1,01·10^-6) = 2,04∙10⁵.

Из формулы Дарси-Вейсбаха гидравлический коэффициент трения

Выражение в скобках в формуле Альтшуля

(Δ _eq/ D + 68/ Re) = (λ/ 0,11)⁴ = (0,0421 / 0,11)⁴ = 0,0215.

Первое слагаемое в скобках в формуле Альтшуля 68/ Re = 68/204000 = 0,0003.

Поскольку 68/ Re << (Δ _eq/ D + 68/ Re), то вторым слагаемым можно пренебречь и тогда Δ _eq/ D _eq ≈ (Δ _eq/ D + 68/ Re) = 0,0215.

Таким образом, Δ _eq = 0,0215∙ D = 0,0215∙0,065 = 0,0014 м = 1,4 мм.

 

Пример 3.4.2. Определить диаметр D нового стального горизонтального трубопровода длиной l = 1000 м, который должен пропускать расход воды Q = 0,02 м³/с при потерях давления Δ p = 2·10⁵ Па. Температура воды 20°C.

Решение. Из уравнения Бернулли потери напора h = Δ p/γ. С учётом формулы Дарси-Вейсбаха . Решаем задачу в MS Excel методом подбора (рис. 3.4.2).

В первом приближении примем D = 0,10 м. Площадь поперечного сечения трубы . Средняя скорость воды . Число Рейнольдса Re = VD/ν, где кинематическая вязкость ν = 10^-6 м²/с. По формуле Альтшуля . Согласно справочнику, эквивалентная шероховатость новых стальных труб Δ _eq = 5·10^{-5 м. Скорость . Площадь поперечного сечения трубы . Диаметр .}

Полученное значение D = 0,132 м берём в качестве второго приближения. Получаем D = 0,123 м. В третьем приближении D = 0,125 м, в четвёртом D = 0,125 м. Поскольку результаты двух последних приближений совпадают, окончательно принимаем D = 0,125 м. Трубы такого диаметра предусмотрены стандартами. При этом Δ _eq/ D = 4·10^-3; V = 1,66 м/с; Re = VD/ν = 2,05·10⁵; 68/ Re = 0,00033. Поскольку 68/ Re << Δ _eq/ D, то трубопровод работает в области квадратичного сопротивления.

 

Рис. 3.4.2. Решение примера 3.4.2 в MS Excel.

 

Пример 3.4.3. Расход воды при температуре t = 20 °C в горизонтальной трубе кольцевого сечения (рис. 3.4.3), состоящей из двух концентрических оцинкованных труб Q = 0,0080 м³/с. Внутренняя труба имеет наружный диаметр d = 70 мм, а наружная – внутренний диаметр D = 95 мм. Эквивалентная шероховатость труб Δ _eq = 0,18 мм. Найти потери напора на трение по длине трубы l = 300 м.

Решение. Площадь сечения ω = πD ²/4 – πd ²/4 = 3,24·10^{-3 м2}.

Смоченный периметр χ = πD + πd = 3,14(0,095 + 0,070) = 0,518 м.

Гидравлический радиус R = ω/χ = 3,24·10^-3/0,518 = 6,25·10 ^{- 3} м.

Эквивалентный диаметр D _eq = 4 R = 4·6,25·10 ^{- 3} = 0,0250 м.

Средняя скорость V = Q/ω = 0,0080/0,00324 = 2,47 м/с.

Число Рейнольдса Re = VD _eq /ν = 2,47·0,0250/10^-6 = 61100.

Так как Re > Re _cr, то режим течения – турбулентный.

Δ _eq /D _eq = 0,0072; 68/ Re = 0,0011. Гидравлический коэффициент трения

λ = 0,11(Δ _eq /D _eq + 68/ Re)^0,25 = 0,11(0,0072 + 0,0011)^0,25 =0,0332.

Падение напора по формуле Дарси—Вейсбаха

h = λ (l/D _eq) V /(2 g) = 0,0332(300/0,025)·2,47/(2·9,81) = 50 м.