Тема 2. 3. Давление жидкости на плоскую поверхность

• Найдём силу давления на плоскую поверхность произвольной формы, представляющую собой часть наклонённой под углом α к горизонту плоскости. На рис. 2.3.1 эта плоскость показана повёрнутой на 90° вокруг оси у. Жидкость находится под внешним давлением p ₀. Рассмотрим бесконечно малый элемент dω этой поверхности, расположенный на глубине h. Согласно основному уравнению гидростатики в форме давлений p = p ₀ + γh, на элемент поверхности dω действует сила давления dP = (p ₀ + γh) dω. На конечную площадку ω действует сила давления

. (2.3.1)

Поскольку глубина h = y· sin α, то

. (2.3.2)

 

Рис. 2.3.1. Действие жидкости на наклонную плоскость.

 

• Из теоретической механики известно, что статический момент площадки относительно некоторой оси равен произведению площади этой площадки на расстояние от её центра тяжести C до этой оси:

. (2.3.3)

Тогда

. (2.3.4)

где – глубина погружения центра тяжести поверхности. Первое слагаемое – это сила внешнего давления, второе – сила избыточного гидростатического давления.

• Сила избыточного гидростатического давления P _гс = γωh_C является равнодействующей сил избыточного давления, действующих на элементарные участка поверхности. Точка приложения D этой равнодействующей называется центром давления. Момент равнодействующей равен сумме моментов элементарных сил:

. (2.3.5)

Отсюда с учётом теоремы Штейнера получаем координату точки приложения равнодействующей

, (2.3.6)

где – момент инерции площадки относительно оси x, – момент инерции площадки относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости площадки и проходящей через её центр тяжести. Центр давления размещён ниже центра тяжести:

. (2.3.7)

• Знание величины равнодействующей сил давления (2.3.4) и координаты центра давления (2.3.7) необходимы, в частности, для расчёта устойчивости плотин. Формулы для нахождения площади поверхности ω, координаты центра тяжести y_C и момента инерции площадки относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости площадки и проходящей через её центр тяжести, приведены на рис. 2.3.2.

• На рис. 2.3.3 показана плотина Днепрогэса. Это гравитационная плотина. Её устойчивость обеспечивается гравитационными силами (силами тяжести).

 

 

	; ;
	; ;
	; ;
	; ;
	; ;
Координата центра давления . Сила давления . JC – момент инерции площадки относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости площадки и проходящей через её центр тяжести, ω – площадь площадки.
Рис. 2.3.2. Расчёт давления жидкости на плоскую стенку.

 

 

Рис. 2.3.2. Днепрогэс – гравитационная плотина.

 

• Как это видно на рис. 2.3.3, момент силы тяжести G препятствует опрокидыванию гравитационной плотины вокруг оси O моментом равнодействующей P сил давления.

Рис. 2.3.3. Момент силы тяжести противодействует опрокидыванию гравитационной плотины.

• На рис. 2.3.5 показана контрфорсная плотина Зейской ГЭС на притоке Амура.

 

Рис. 2.3.5. Контрфорсная плотина Зейской ГЭС.

 

• Как это видно на рис. 2.3.6, суммарный момент силы тяжести G и вертикальной составляющей силы давления P_y препятствует опрокидыванию контрфорсной плотины вокруг оси O моментом горизонтальной составляющей силы давления P_x.

 

Рис. 2.3.6. Суммарный момент силы тяжести и вертикальной составляющей силы давления препятствует опрокидыванию контрфорсной плотины.

 

• Эпюра давления – это графическое изображение распределения давления по контуру тела, погруженного в жидкость. Рис. 2.3.7 а – эпюра полного давления p = p ₀ + γh для плоской прямоугольной наклонной стенки. Рис. 2.3.7 b – эпюра гидростатического давления p _гс = γh для плоской прямоугольной наклонной стенки. Рис. 2.3.7 c – эпюра гидростатического давления p _гс = γh для криволинейной стенки. Везде вектор силы давления направлен по нормали к стенке.

 

Рис. 2.3.7. Эпюры давления.

 

• Если жидкость находится по обе стороны поверхности (рис. 2.3.8), эпюры строят для каждой стороны отдельно, а затем складывают графически с учетом знака. Площадь эпюры выражает силу давления, действующую на единицу ширины стенки, а центр тяжести эпюры – это точка, через которую проходит равнодействующая сила давления.

 

Рис. 2.3.7. Построение эпюры давления, когда жидкость находится по обе стороны поверхности.

Пример 2.3.1. Плоский прямоугольный щит шириной b = 1 м наклонён к горизонту под углом α = 50°. Глубина воды за щитом h ₂ = 2 м, перед щитом h ₁ = 3 м. Удельный вес воды γ = 9810 Н/м³. Найти силу давления на щит с каждой стороны, суммарную силу давления и точку её приложения.

Решение. Сила давления со стороны большей глубины

P ₁ = γ (h ₁/2) bh ₁/sin α = 9810∙1,5∙1∙3/sin 50° = 57600 Н = 57,6 кН.

Сила давления со стороны меньшей глубины

P ₂ = γ (h ₂/2) bh ₂/sin α = 9810∙1∙1∙2/sin 50° = 25600 Н = 25,6 кН.

Суммарная сила давления

57,6 – 25,6 = 32,0 кН.

Центр давления D размещён ниже центра тяжести: . В случае плоского прямоугольного щита расстояние от точки O до центра тяжести ; момент инерции площадки относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости площадки и проходящей через её центр тяжести, ; площадь щита . И тогда . Центр давления силы P ₁ находится на расстоянии h ₁/3 от дна, центр давления силы P ₂ на расстоянии h ₂/3 от дна. Момент результирующей силы равен сумме моментов составляющих сил: , где x – расстояние от точки A до точки приложения силы P. ; 1,654 м.