ТЕМА 2.1. Дифференциальные уравнения гидростатики

• Если жидкость неподвижна, то правые части уравнений Эйлера (1.4.4) равны нулю. Получаем дифференциальные уравнения равновесия жидкости:

(2.1.1)

• Умножив уравнения (2.1.1) соответственно на ρdx, ρdy, ρdz и сложив их, получим:

. (2.1.2)

С учётом того, что в левой части равенства (2.1.2) имеем полный дифференциал давления dp, из (2.1.2) получаем основное дифференциальное уравнение гидростатики:

dp = ρ (Xdx + Ydy + Zdz). (2.1.3)

• Из основного дифференциального уравнения гидростатики (2.1.3) при dp = 0 следует уравнение поверхности уровня (равного давления)

Xdx + Ydy + Zdz = 0. (2.1.4)

Его физический смысл: элементарная работа массовых сил по перемещению единицы массы жидкости по поверхности уровня равна нулю.

• В отсутствие массовых сил инерции ускорения массовых сил принимают значения: X = 0; Y = 0; Z = – g. И тогда основное дифференциального уравнения гидростатики запишется в виде:

dp = – ρgdz, (2.1.5)

а основное уравнение поверхности уровня принимает вид:

dz = 0. (2.1.6)

Проинтегрировав (2.1.6), получаем z = const. Таким образом, поверхность уровня жидкости, неподвижной в инерциальной системе отсчёта, представляет собой горизонтальную поверхность.

 

ТЕМА 2.2. Напор

• Проинтегрировав основное дифференциального уравнения гидростатики в отсутствие массовых сил инерции (2.1.5), получаем основное уравнение гидростатики для напоров:

. (2.2.1)

Здесь z – вертикальная координата некоторой точки жидкости (отметка уровня), называемая гравитационным напором; p – давление в этой точке; p/γ – величина, называемая напором давления; Н – постоянная интегрирования, называемая гидростатическим напором. Таким образом, гидростатический напор одинаков во всех точках данного объёма жидкости.

• Для жидкости в состоянии вакуума основное уравнение гидростатики для напоров имеет вид:

. (2.2.2)

• Рассмотрим закрытый сосуд с жидкостью (рис. 2.2.1), на поверхность которой действует давление p ₀, большее атмосферного. К сосуду присоединена открытая вертикальная стеклянная трубка, называемая пьезометром. Для отметки уровня в пьезометре p = 0. Таким образом, согласно основному уравнение гидростатики для напоров (2.2.1), гидростатический напор Н равен отметке уровня пьезометра.

• Из основного уравнения гидростатики для напоров (2.2.1) для поверхности жидкости в сосуде и для точки, находящейся на глубине h, имеем:

. (2.2.3)

Получено основное уравнение гидростатики в форме давлений. Отсюда следует закон Паскаля: давление, приложенное к поверхности жидкости, передаётся во все точки жидкости без изменения.

 

Рис. 2.2.1. Давление в сосуде над жидкостью превышает атмосферное.

 

• Рассмотрим закрытый сосуд с жидкостью (рис. 2.2.2), на поверхность которой действует давление p _абс0, меньшее атмосферного. К сосуду присоединена открытая изогнутая трубка, называемая вакуумметром. Для отметки уровня в вакуумметре p _абс = p _атм. Таким образом, согласно основному уравнение гидростатики для напоров (2.2.2), для точки A имеем:

. (2.2.4)

• Если точка A находится ниже отметки уровня вакуумметра, то абсолютное давление в ней превышает атмосферное:

. (2.2.5)

• Если точка A находится выше отметки уровня вакуумметра, то абсолютное давление в ней меньше атмосферного:

. (2.2.6)

Вакуумметрическое давление в точки A

. (2.2.5)

Превышение отметки уровня точки A над отметкой уровня вакуумметра

(2.2.6)

называется высотой вакуума.

• В водопроводных системах не допускается высота вакуума, превышающая 7 м, так как при большей высоте вакуума вода превращается в пар уже при температуре ниже 70°C.

 

Рис. 2.2.2. Давление в сосуде над жидкостью меньше атмосферного.

 

Пример 2.2.1. К закрытому сосуду, заполненному водой, (рис. 2.2.3) присоединена трубка с ртутью. Определить абсолютное и манометрическое (вакуумметрическое) давление в центре сосуда в точке А. Принять h ₁ = 70 см; h ₂ = 30 см. Плотность ртути ρ _Hg = 13,6·10³ кг/м³, плотность воды ρ _w = 1·10³ кг/м³. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Решение. а) p + ρ _w gh ₁ = ρ _Hg gh ₂;

p = g (ρ _Hg h ₂ – ρ _w h ₁) = 9,81∙(13,6·10³∙0,3 – 1·10³∙0,7) = 33160 Па = 33,16 кПа.

p _abs = p + p _аtm = 33,16 + 101,3 =134,5 кПа

б) p _atm = p _abs + ρ _Hg gh ₂ + ρ _w g (h ₁ – h ₂);

p _abs = p _atm – g [ ρ _Hg h ₂ + ρ _w(h ₁ – h ₂)] =

= 1,013·10⁵ – 9,81·[13,6·10³∙0,3 + 1·10³∙(0,7 – 0,3)] = 101,3·10³ – 4,48·10³ =

= 57,4·10³ Па = 57,4 кПа;

p _vac = p _atm – p _abs = 101,3 – 57,4 = 43,9 кПа.

 

Рис. 2.2.3. Измерение давления жидкости ртутным манометром.

 

Пример 2.2.2. Для того чтобы газы из внутренней канализационной сети не попадали а жилые помещения, под санитарными приборами устанавливают сифоны (рис. 2.2.4), создающие гидравлические затворы. Гидравлический затвор представляет собой водяную пробку, которая образуется вследствие заполнения водой нижней петлеобразной трубки сифона. При опорожнении санитарных приборов и движении воды с большими скоростями по вертикальным трубам (стоякам) вместе с водой увлекается воздух и в трубах сети возникает вакуум p _вак = 490 Па. Какую высоту h должен иметь гидравлический затвор, чтобы он не срывался (вода не отсасывалась)?

Решение. Высота вакуума h _вак = p _вак/ γ = 490/9810 = 0,05 м.

Следовательно, высота затвора должна быть h ≥ h _вак = 50 мм.

Обычно её принимают h = 70 мм.