Решение уравнения Шредингера для простейших

Модельных систем

Частица в одномерной потенциальной яме. Частица свободно движется вдоль оси х в интервале от 0 до L и вне этого интервала находиться не может.

(5.13.)

Обозначим

	(5.14.)
	(5.15.)
Ψ (0) = A sin(0) Ψ (L) = A sin(π n)	(5.16.)
	(5.17.)

 

Требование Ψ (L) = 0 выполняется при kl = πn (n = 1, 2, 3 …)

	(5.18.)
	(5.19.)
	(5.20.)

(5.21.)

 

	(5.22.)
	(5.23.)

Туннельный эффект

Схема туннельного эффекта.

.

Частица на окружности

(5.24.)

Решения либо cos l φ, либо sin l φ, либо комбинация cos l φ+sin l φ

 

(5.25.)

 

Ψ (φ) = Ψ (φ ± 2π) = Ψ (φ ± 4 π) =...

l - целые числа (положительные или отрицательные) или ноль: l = 0,±1,±2,±3,....

(5.26.)

где т - масса частицы

 

Решение уравнения Шредингера для атома водорода.

 

Сферическая полярная система координат

 

x = r sin θ cos φ, у = r sin θ sin φ, z = r cos θ

(6.1.)

 

Ψ = Ψ (r, θ, φ)

(6.2.)

 

Ψ (r, θ, φ) = R (r) Θ (θ) Φ (φ)	(6.3.)
	(6.4.)
	(6.5.)
	(6.6)
	(6.7.)

(6.8.)

Квантовое число l ограничено значениями 0, 1, 2, … (n - 1).

 

	(6.9.)
В = A sin 2π m + В cos 2π m	(6.10.)

Параметр m является аналогом магнитного квантового числа в модели Бора – Зоммерфельда.

при m = 0, ±1, ±2,…

(6.11.)

 

Квантовое число m может принимать значения

0, ±1, ±2, ±3, … ± l.

Полный магнитный момент атома j определяется выражением

(6.12.)

где k = ±1/2 (В. Паули)

Спин - чисто квантовое свойство, недоступное объяснению с позиций классической физики. Эта точка зрения сохранилась до настоящего времени и широко представлена в литературе.

 

Спиновые квантовые числа некоторых элементарных

Частиц и атомных ядер.

Спиновое квантовое число s	Частица	Спиновое квантовое число s	Частица
	Ядра ^4He, ^12C, ^16O	3/2	Ядра ^11B, ^81Br, ^37Cl
1/2	Электрон, протон, нейтрон, ядра ^13C, ^31P	5/2	Ядра ^185Re, ^241Pu
	Фотон, ядра ^1^4N, ^2H,	9/2	Ядра ^179Hf, ^209Bi,

Физический смысл квантовых чисел электрона

Орбиталью называют область пространства, соответ­ствующую определенному набору квантовых чисел п, l и m, где вероятность нахождения электрона | Ψ |² составляет 0,9 (90%) или функцию квантовых чисел п, l и m введенную для характеристики электронов без учета их спина.

Главное квантовое число п для реально существующих атомов имеет значения от 1 до 7, которые определяют:

1. Размеры орбитали.

Энергию электронов, находящихся на орбитали.

Буквенные обозначения главного квантового числа

Численное значение n
Буквенное обозначение	K	L	M	N	O	P	Q

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l определяет момент импульса электрона и форму орбиталей.Зависит от n и принимает целочисленные значения от 0 до (n -1).

Буквенные обозначения орбитального квантового числа

Значение l

Обозначение

s

p

d

f

g

h

i

k

l

m

n

o

q

r

Магнитное квантовое число m_l определяет ориентацию орбитали в пространстве, которая не может быть произвольной. Может принимать целочисленные значения от – l до + l, включая нуль.

Спиновое квантовое число s определяет направление и величину проекции собственного магнитного момента электрона S на выбранную ось z в единицах постоянной Планка:

(6.13.)

Двум противоположным направлениям проекций соответствуют значения s +1/2 и -1/2.