Уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнения вида F(x, y^(k), y^{(k + 1)}, …, y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащие искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных z = y^(k). Исходное уравнение примет вид F(x, z, z`, …, z^{(n – k)}) = 0.

Пример: xy`` = y`ln(y`/x). Полагая y` = z(y`` = z`) приведем уравнение к виду xz` = zln(z/x). Это однородное уравнение первого порядка. Полагая z/x = t(z = xt), z` = t + xt`, получим t`x + t = tlnt и, разделяя переменные, . Интегрируя, находим ln|lnt – 1| = ln|x| + lnC₁, lnt – 1 = C₁x и . Возвращаясь к исходной переменной приходим к уравнению первого порядка , решая которое найдем .

 

Дифференциальные уравнения вида F(y, y`, y``, …, y<sup>(n)</sup>) = 0, не содержащие независимой переменной. Порядок уравнения понижаем положив y` = z, а за новый аргумент приняв у. В этом случае y``, y```, … можно, по правилу дифференцирования сложной функции, выразить через z и производные от z по у (, и т.д.). Порядок уравнения понижается на единицу.

Пример: 1 + (y`)² = yy``. Полагая получим ; разделяя переменные и интегрируя: . Возвращаясь к старой переменной , откуда , и интегрируя, получим .

 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейным дифференциальным уравнением n порядка называется уравнение вида y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n–1) + … + a_n–1(x)y` + a_n(x)y = f(x) где функции a₁(x), a₂(x), … и f(x) заданы и непрерывны в некотором интервале (a, b).

Уравнение называется линейным неоднородным при f(x) ¹ 0 и линейным однородным при f(x) = 0. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему. Рассмотрим некоторые свойства линейных уравнений на примере уравнений второго порядка y`` + a₁(x)y` + a₂(x)y = f(x) (9.6).

 

Однородные уравнения

Важное свойство уравнений вида y`` + a₁(x)y` + a<sub>2</sub>(x)y = 0 (9.6`),

определяется теоремой о структуре общего решения: если у₁ и у₂ два линейно независимых решения уравнения (9.6`), то у = С₁у₁ + С₂у₂ (9.7),

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, есть его общее решение. Две функции у₁ и у₂ называются линейно независимыми на отрезке [a, b], если a₁у₁ + a₂у₂ ¹ 0 ни при каких a₁ и a₂, не равных нулю одновременно, ни в одной точке отрезка

[a, b]. Определитель вида называется определителем Вронского (вронскианом) функций у₁ и у₂. Если у₁ и у₂ – частные решения уравнения (9.6`), то условие u(y₁, y₂) ¹ 0 является необходимым и достаточным условием линейной независимости этих решений. (Это условие можно записать и так: на отрезке [a, b]).

Неоднородные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения (9.6) определяется следующим образом: Общее решение неоднородного уравнения (9.6) равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (9.6`). Оставляя пока открытым вопрос о способах отыскания общего решения однородного уравнения, рассмотрим один из методов отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения – метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Заключается он в следующем. Пусть известно общее решение уравнения (9.6`), соответствующего уравнению (9.6):

 

`у = С₁у₁ + С₂у₂ (9.7).

 

Будем искать частное решение уравнения (9.6) в виде у* = С₁(х)у₁ + С₂(х)у₂, где С₁(х) и С₂(х) функции подлежащие определению. Продифференцируем последнее равенство: у*` = С`₁у₁ + С₁у₁` + С`₂у₂ + С₂у`<sub>2</sub> и наложим на искомые функции С<sub>1</sub> и С<sub>2</sub> дополнительное условие: С`₁у₁ + С`₂у₂ = 0 (1).

Первая производная у*` примет вид у*` = С₁у₁` + С<sub>2</sub>у<sub>2</sub>`. Дифференцируя это выражение, получим: у*``= С`<sub>1</sub>у<sub>1</sub>` + С<sub>1</sub>у<sub>1</sub>`` + С`<sub>2</sub>у<sub>2</sub>` + С₂у₂``. Подставим у*, у*`, у*`` в (9.6) (напомним, что любое решение дифференциального уравнения, будучи подставлено в уравнение, обращает его в тождество).

 

C₁y₁`` + С<sub>2</sub>y<sub>2</sub>``+ С₁y₁` + C<sub>2</sub>y<sub>2</sub>` + a₁(С₁y₁` + C<sub>2</sub>y<sub>2</sub>`) + a₂(C₁y₁ + C₂y₂) = f(x) или

 

C₁(y₁`` + а<sub>1</sub>y<sub>1</sub>` + a<sub>2</sub>y<sub>1</sub>) + С<sub>2</sub>(y<sub>2</sub>`` + a₁y₂` + a<sub>2</sub>y<sub>2</sub>) + C<sub>1</sub>`y₁` + C<sub>2</sub>`y₂` = f(x).

Выражения, стоящие в скобках, обращаются в нуль, так как у₁ и у₂ – решения однородного уравнения и последнее равенство примет вид

C₁`y<sub>1</sub>` + C₂`y<sub>2</sub>` = f(x) (2). Функция (9.7) будет решением неоднородного уравнения (9.6) в случае, если функции С₁ и С₂ удовлетворяют системе уравнений (1) и (2). Определитель системы – это определитель Вронского для линейно независимых функций у₁ и у₂ и, следовательно, не равен нулю. Решая систему, найдем С₁ и С₂ как определенные функции от х: С₁ = j₁(х) и

С₂ = j₂(х). Интегрируя, получим и ,

где ` С<sub>1</sub> и ` С₂ – произвольные постоянные. Подставляя полученные выражения в (9.7) получим общий интеграл уравнения (9.6) у =`у + у*.

 

Пример: . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Обозначив y` = z(y``= z`) получим откуда z = y` = xC и `у = С₁х² + С₂. Искомые функции С₁(х) и С₂(х) в общем решении и сходного уравнения определим из решения системы:

 

С₁`x<sup>2</sup> + C<sub>2</sub>` = 0 и 2С₁`x = x, откуда , и , .

 

Общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнения вида (9.6), в которых коэффициенты а₁ и а₂ представляют собой постоянные величины.

Рассмотрим решение однородных уравнений (9.6`). Будем искать линейно независимые частные решения у<sub>1</sub> и у<sub>2</sub> в (9.7) в виде у = е<sup>kх</sup>, где k – const (Метод был предложен Л. Эйлером). Тогда у` = kе^kх и у`` = k²е^kх. Подставляя решение в (9.6`) получим е^kх(k² + а₁k + а₂) = 0 и т.к. е^kх ¹ 0,

k² + а₁k + а₂ = 0 (9.8). Уравнение (9.8) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (9.6`). Корни уравнения (9.8) определяются по известной формуле для корней квадратного уравнения и при этом возможны следующие случаи:

1. Корни действительны и различны (k₁ ¹ k₂), частные решения и линейно независимы и общее решение принимает вид .

Пример: y`` + y` – 2y = 0. Характеристическое уравнение k² + k – 2 = 0; k₁ = 1 и k₂ = –2 и общее решение .

2. Корни характеристического уравнения равны, k₁ = k₂ = k. В этом случае частные решения у₁ и у₂ целесообразно искать в виде и ; они линейно независимы: () и общее решение примет вид .

3. Корни характеристического уравнения комплексные. Известно, что, в общем случае, дискриминант квадратного уравнения может быть отрицательным и тогда уравнение не имеет действительных корней.

Пример: у² – 2у + 5 = 0; ; обозначив , получим у_1,2 = 1 ± 2 i.

Выражение вида z = a + i b, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством i ² = –1, называется комплексным числом a называется действительной, а b – мнимой частью комплексного числа. (Иногда используют обозначения: a = Rez и b = Imz; иногда мнимой частью называют произведение i b – это более естественно, но менее удобно).

Два комплексных числа, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными. (Иногда для обозначения комплексно сопряженного числа используют символ z*, т.е. если z = a + i b, то z* = a – i b).

Два комплексных числа z₁ и z₂ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные (a₁= a₂) и мнимые (b₁ = b₂) части.

Комплексные числа изображаются точками на плоскости, называемой комплексной плоскостью. Поясним рисунком 9.1. На этой плоскости вводится система ортогональных координат: действительная (вещественная) ось Оa и мнимая ось Оb. Произвольной точке М(a;b) плоскости соответствует комплексное

число z = a + i b. Если a= 0, то число 0 + i b = i b

называется чисто мнимым (или просто мнимым) (ему соответствует точка на мнимой оси Оb), если b = 0, то число a + i 0=a оказывается действительным (вещественным) числом (ему соответствует точка на действительной оси Оa). Таким образом и действительные и мнимые числа суть частные случаи комплексного числа.

На комплексной плоскости можно ввести и полярную систему координат (см.рис 9.1). Полярные координаты точки М: и называются модулем и аргументом комплексного числа z. С учетом связи декартовых и полярных координат (a = r cos j, b = r sin j) получим тригонометрическую форму комплексного числа: z = r (cos j + i sin j).

Примеры: 1) z = i; |z| = 1; arg z = p/2 2) z = 1; |z| = 1; arg z = 0

3) z = 1 + i; |z| = ; arg z = p/4 4) z = 1 – i; |z| = ; arg z = 5p/4

 

При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части, т.е. z ₁ + z₂ = (a₁ + i b₁) + (a₂ + i b₂) = (a₁ + a₂) + i (b₁ + b₂).

Произведение комплексных чисел можно найти в алгебраической z₁ z₂ = (a₁ + i b₁) (a₂ + i b₂) = (a₁a₂ – b₁b₂) + i (a₁b₂ + a₂b₁) и тригонометрической

формах z₁ z₂ = r₁(cosj₁ + i sinj₁) r₂(cosj₂ + i sinj₂) = r₁r₂[cos (j₁ + j₂) + i sin (j₁ + j₂)]

т.е. |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|, arg (z₁ z₂) = arg z₁ + arg z₂.

 

Соответственно, при делении и .

 

Удобнее выполнять операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Во многих случаях удобно использовать формулу zⁿ = rⁿ(cosj + i sinj)ⁿ = rⁿ(cosnj + i sinnj); частный случай ее при r = 1:

(cosj + i sinj)ⁿ = cosnj + i sinnj называют формулой Муавра.

Важной в практическом отношении и показывающей одновременно связь тригонометрических и показательной функции является формула Эйлера

e^{± i b} = cosb ± i sinb. С её помощью вводится показательная форма комплексного числа: z = a + i b = r(cosj + i sinj) = re ^{i j}

Вернемся к характеристическому уравнению однородного линейного уравнения второго порядка (9.6`). Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, оно имеет два комплексно сопряженных корня a + i b и a – i b. В этом случае частные решения однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами примут вид у<sub>1</sub> = е<sup>(a + i b)х</sup> и у<sub>2</sub> = е<sup>(a + i b)х</sup>, или у<sub>1,2</sub> = е<sup>aх</sup> cosbх ± i е<sup>aх</sup> sinbх, где у<sub>1</sub> и у<sub>2</sub> комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие уравнению (9.6`). Если комплексная функция действительного аргумента у = u(x) + i v(x) удовлетворяет уравнению (9.6`), то ему удовлетворяют и функции u(x) и v(x). Соответственно, частными решениями в нашем случае будут действительные функции у₁ = е^aх cosbх и у₂ = е^aх sinbх. (у₁ и у₂ линейно независимы: ) и общее решение примет вид у = е^aх (С₁cosbх + С₂sinbх).