Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Двойной и тройной интегралы.
называется сумма вида (7.1). При f(x, y) ³ 0 каждое слагаемое можно рассматривать как объем малого цилиндра с основанием DSi и высотой f (xi, hi), а сумму – как объем некоторого “ступенчатого” тела (геометрическая интерпретация). Способы разбиения области D на элементарные могут быть различны, однако, если максимальный диаметр (диаметр наибольшей элементарной области) стремится к нулю (при этом n ® ¥), то справедлива следующая теорема: Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы (7.1) при max di ® 0 существует и не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные, ни от выбора точек внутри элементарных областей (теорема существования двойного интеграла). Этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается так: (7.2). Область D называется областью интегрирования. Если f(x, y) ³ 0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz (направляющая- граница области D), и снизу областью D плоскости хОу. Основные свойства двойного интеграла определяются теоремами: 1. Двойной интеграл от суммы функций j(х,у) и f(x, y) по области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций, т.е. (7.3) 2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла, т.е. если C = const, то (7.4). 3. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек, то (7.5). Вычисление двойного интеграла. Пусть область D такова, что всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку области параллельно одной из осей координат пересекает границу области не более чем в двух точках (рис.7.2.). Если при этом область D ограничена линиями у = j1(х), у = j2(х), х =а, х = b, причем j1(х) £ j2(х), а < b, а функции j1(х) и j2(х) непрерывны на отрезке [a, b], то область называют правильной в направлении оси Оу. Аналогично определяется область правильная в направлении оси Ох. Область, правильную в направлении обеих осей, называют просто правильной.
Для вычисления двойного интеграла по правильной области используется разновидность определённого интеграла по плоской области D называемая двукратным интегралом и определяемая выражением: (7.6) В этом выражении сначала вычисляется интеграл по dy («внутренний» интеграл, стоящий в скобках), при этом х считается постоянной. В результате получится непрерывная (доказательство не приводим) функция от х: . Эта функция интегрируется по х в пределах от а до b: . Пример: вычислить (Область D представляет собой треугольник: а = 0; b = 1; j1(x) = 0 и j2(x) = х2). Вычислим
и затем . Основные свойства двукратного интеграла: 1. Если правильную в направлении оси Оу(Ох) область D разбить на две области D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу(Ох) то двукратный интеграл ID по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2, т.е. ID = ID1+ ID2. Следствие: двукратный интеграл по области D равен сумме двукратных интегралов по частичным областям, т.е. ID = I D1+ I D2+ … +I Dn (области Di выбором границ можно сделать правильными в направлении оси Оу(Ох)). 2. (Оценка двукратного интеграла). Если m и М наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y) в области D и S – площадь области D, то справедливо неравенство . 3. (Теорема о среднем) Двукратный интеграл от непрерывной функции f(x, y) по области D с площадью S равен произведению полощади S на значение функции в некоторой точке Р области D т.е. . Свойства двукратного интеграла позволяют доказать теорему, открывающую путь к вычислению двойного интеграла: Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D т.е. (7.7) (Полагаем область D правильная по оси Оу и ограничена линиями у = j1(х), у = j2(х), х =а, х = b). Пример: Вычислить , если область D ограничена линиями у = 1 – х2, у = 2х, х = – 2, х = 0. Построим область D (рис.7.3). Очевидно, она правильная в направлении оси Оу и искомый интеграл равен двукратному интегралу
Отметим, что если область D правильная в направлении оси Ох и ограничена линиями х = y1(у), х = y2(у), у = с, у = d причем y1(у) £ y2(у), то (7.8). Таким образом, двойной интеграл может быть вычислен по формулам (7.7) или (7.8). Пример: Изменить порядок интегрирования в интеграле . Область интегрирования ограничена прямой у = х и параболой (рис.7.4) и, очевидно, правильная, т.е. интеграл можно вычислить и по формуле (7.8) полагая у2 = y1(у), у = y2(у), с = 0, d = 1 откуда . В случае, когда область D не является правильной ни по одной из осей, двойной интеграл по этой области представить в виде двукратного нельзя. Однако, если область D разбить на частичные, правильные в направлении той или иной оси, то двойной интеграл по области D можно представить в виде суммы двойных интегралов по этим областям, а каждое слагаемое – в виде двукратного интеграла по соответствующей частичной области.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 297; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.98.108 (0.009 с.) |