Двойной и тройной интегралы.

Рис. 7.1

Двойной интеграл. Пусть функция f(x, y) определена в замкнутой ограниченной области D в плоскости хОу. Разобьем область D на n элементарных областей, имеющих площади DS₁, DS₂,…,DS_n и диаметры d₁, d₂,…,d_n. (Диаметром области называют наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку p_i(x_i, h_i) и умножим значение функции в точке p_i на площадь этой области. Интегральной суммой для функции f(x, y) по области D

называется сумма вида (7.1).

При f(x, y) ³ 0 каждое слагаемое можно рассматривать как объем малого цилиндра с основанием DS_i и высотой f (x_i, h_i), а сумму – как объем некоторого “ступенчатого” тела (геометрическая интерпретация). Способы разбиения области D на элементарные могут быть различны, однако, если максимальный диаметр (диаметр наибольшей элементарной области) стремится к нулю (при этом n ® ¥), то справедлива следующая теорема:

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы (7.1) при max d_i ® 0 существует и не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные, ни от выбора точек внутри элементарных областей (теорема существования двойного интеграла). Этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и

обозначается так: (7.2).

Область D называется областью интегрирования. Если f(x, y) ³ 0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz (направляющая- граница области D), и снизу областью D плоскости хОу.

Основные свойства двойного интеграла определяются теоремами:

1. Двойной интеграл от суммы функций j(х,у) и f(x, y) по области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций, т.е.

(7.3)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла, т.е. если C = const, то (7.4).

3. Если область D разбита на две области D₁ и D₂ без общих внутренних

точек, то (7.5).

Вычисление двойного интеграла. Пусть область D такова, что всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку области параллельно одной из осей координат пересекает границу области не более чем в двух точках (рис.7.2.). Если при этом область D ограничена линиями у = j₁(х), у = j₂(х), х =а, х = b, причем j₁(х) £ j₂(х), а < b, а функции j₁(х) и j₂(х) непрерывны на отрезке [a, b], то область называют правильной в направлении оси Оу. Аналогично определяется область правильная в направлении оси Ох. Область, правильную в направлении обеих осей, называют просто правильной.

Для вычисления двойного интеграла по правильной области используется разновидность определённого интеграла по плоской области D называемая двукратным интегралом и определяемая выражением:

(7.6)

В этом выражении сначала вычисляется интеграл по dy («внутренний» интеграл, стоящий в скобках), при этом х считается постоянной. В результате получится непрерывная (доказательство не приводим) функция от х: . Эта функция интегрируется по х в пределах от а до b: .

Пример: вычислить (Область D представляет собой треугольник: а = 0; b = 1; j₁(x) = 0 и j₂(x) = х²). Вычислим

 

и затем .

Основные свойства двукратного интеграла:

1. Если правильную в направлении оси Оу(Ох) область D разбить на две области D₁ и D₂ прямой, параллельной оси Оу(Ох) то двукратный интеграл I_D по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D₁ и D₂, т.е. I_D = I_D1+ I_D2.

Следствие: двукратный интеграл по области D равен сумме двукратных интегралов по частичным областям, т.е. I_D = I _D1+ I _D2+ … +I _Dn (области D_i выбором границ можно сделать правильными в направлении оси Оу(Ох)).

2. (Оценка двукратного интеграла). Если m и М наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y) в области D и S – площадь области D, то справедливо неравенство .

3. (Теорема о среднем) Двукратный интеграл от непрерывной функции f(x, y) по области D с площадью S равен произведению полощади S на значение функции в некоторой точке Р области D т.е. .

Свойства двукратного интеграла позволяют доказать теорему, открывающую путь к вычислению двойного интеграла: Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D т.е. (7.7)

(Полагаем область D правильная по оси Оу и ограничена линиями у = j₁(х), у = j₂(х), х =а, х = b).

Пример: Вычислить , если область D ограничена линиями у = 1 – х², у = 2х, х = – 2, х = 0. Построим область D (рис.7.3). Очевидно, она правильная в направлении оси Оу и искомый интеграл равен двукратному интегралу

Отметим, что если область D правильная в направлении оси Ох и ограничена линиями х = y₁(у), х = y₂(у), у = с, у = d причем y₁(у) £ y₂(у), то

(7.8).

Таким образом, двойной интеграл может быть вычислен по формулам (7.7) или (7.8). Пример: Изменить порядок интегрирования в интеграле . Область интегрирования ограничена прямой у = х и параболой (рис.7.4) и, очевидно, правильная, т.е. интеграл можно вычислить и по формуле (7.8)

полагая у² = y₁(у), у = y₂(у), с = 0, d = 1

откуда .

В случае, когда область D не является правильной ни по одной из осей, двойной интеграл по этой области представить в виде двукратного нельзя. Однако, если область D разбить на частичные, правильные в направлении той или иной оси, то двойной интеграл по области D можно представить в виде суммы двойных интегралов по этим областям, а каждое слагаемое – в виде двукратного интеграла по соответствующей частичной области.