Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Разложение в ряд Фурье непериодической функции. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле на этом интервале. Зададим периодическую функцию f1(x) с периодом 2 l = b – a, совпадающую с функцией f(x) на [a, b] (Доопределим функцию f(x)). Если функцию f(x) разложить в ряд Фурье, то сумма этого ряда во всех точках интервала (a, b) совпадает с функцией f(x) и задача решена. Наиболее просто задача решается, если функция задана на отрезке [0, l ]. В этом случае ее можно доопределить так, чтобы ее значения на отрезке [– l, 0] находились из условия f(–x) = f(x) («четным образом») и тогда функция f1(x) разлагается в ряд по косинусам – формулы (10. 21`0 – (10.23``) или так, чтобы на [– l, 0] f(–x) = – f(x) («нечетным образом») и тогда функция f1(x) разлагается в ряд по синусам – формулы (10.21``) – (10.23``). Пример: разложить функцию у = 3х на отрезке [0, 2]. 1. Доопределим заданную функцию четным образом, т.е. введем новую функцию f1(x) = 3|x| на интервале [–2, 2]. Четная функция разлагается в ряд покосинусам, т.е. bn = 0; ; [интегрируем по частям]
0 при n – четном и при n – нечетном. Т.о. в итоге получим разложение функции у = 3х на интервале [0, 2] в виде: 3х = 3 . 2. Доопределим заданную функцию нечетным образом, т.е. введем новую функцию f1(x) = 3х на интервале [–2, 2]. Нечетная функция разлагается в ряд по синусам (см. (10.21``) – (10.23``)), т.е. а0 = 0; an = 0; [ интегрируем по частям] при n – четном и при n – нечетном. В итоге получим разложение функции у = 3х на интервале [0, 2] в виде: . Тесты 5.1. Какое из выражений называют n-ой частичной суммой и какое – остаточным рядом? 1) ; 3) ; 2) ; 4) . 5.2. Гармоническим называют ряд, общий член которого имеет вид: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5.3. Обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихли) называют ряд с общим членом: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5.4. По признаку Даламбера ряд сходится, если: 1) c = 1; 2) c < 1; 3) c >1; 4) c = 3. 5.5. Ряд : 1) Сходится условно; 2) Сходится абсолютно; 3) Расходится. 5.6. Функциональный ряд называется сходящимся равномерно если для любого e > 0, найдется такое n ³ N, начиная с которого: 1) ε; 2) ε; 3) ε; 4) ε. 5.7. Почленно дифференцировать и интегрировать можно ряды сходящиеся: 1) Условно; 2) Равномерно; 3) Абсолютно. 5.8. Степенным рядом называют функциональный ряд с общим числом вида аn (х)= 1) ; 2) ; 3) . 5.9. Радиус сходимости ряда R = 2; Это означает, что: 1) Ряд сходится в одной точке; 3) На отрезке длиной 4 ед.;
2) На отрезке длиной 2 ед.; 4) На всей числовой оси. 5.10. Если среди коэффициентов ряда есть нулевые, а последовательность степеней любая, то радиус сходимости ряда может быть найден по формуле: 1) ; 2) ; 3) . 5.11. Можно ли утверждать, что ряд сходится к функции f (x), если : 1) Да; 2) Нет. 5.12. Биномиальный ряд можно использовать при т ³ 0, если: 1) ; 2) ; 3) . 5.13. Две функции ех (1) и arctg x (2) разлагаются в ряд Тейлора. Для какого из рядов справедливо утверждение, что точность «не хуже» модуля первого отброшенного члена? 5.14. Какая из функций разлагается в ряд Фурье по синусам: 1) Четная; 2) Нечетная. 5.15. в ряд Фурье разлагается функция с периодом 3 р на интервале [-1,5 р; 1,5 р ]. Формула для коэффициентов а 0 имеет вид: 1) ; 2) ; 3) а 0 = . 5.16. Разложение функции у = х на интервале [-p; p] в ряд Фурье имеет вид: 1) ; 2) ; 3) .
Ответы к тестам. 3.10. ; 3.11. 0; 3.12. ; 3.13. ; 3.14. ; 3.15. Расходится; 3.16. Расходится; 3.17. ; 3.18. Расходится; 3.19. 4,5 кв.ед. 3.20. ; 3.21. по оси Оу; 3.22. ; 3.23. ; 3.24. 3,4 куб.ед.; 3.25. 232; 3.26. куб.ед.; 3.27. ; 3.28. ; 3.29. = - ; 3.30. ; 4.1. ; 4.2. ; 4.3. ; 4.5. ; 4.6. ; 4.7. ; 4.8. ; 4.9. ; 4.10. ; 4.11. ; 4.12. Линейное неоднородное; 4.13. Да (функции линейно независимы); 4.14. ; 4.15. ; 4.16. ; 4.17. ; 5.1. - n-ая частичная сумма; - остаточный ряд; 5.2. ; 5.3. ; 5.4. c < 1; 5.5. Сходится условно; 5.6. ε; 5.7. Равномерно; 5.8. ; 5.9. На отрезке длиной 4ед.; 5.10. ; 5.11. Да; 5.12. ; 5.13. Для разложения функции ; 5.14. Нечетная; 5.15. ; 5.16. .
Итоговые тесты 1. Какая из функций определена на R: 1) ; 2) ; 3) . 2. Функция : 1) Четная; 2) Нечетная; 3) Общего вида. 3. 1) 1; 2) –0,5; 3) ¥. 4. 1) е; 2) – е; 3) е -1. 5. Величины sin x и ln(1+ x) при имеют: 1) Один порядок; 2) Разные порядки; 3) Эквивалентны. 6. Функция : 1) Непрерывна; 3) Испытывает разрыв II рода; 2) Испытывает разрыв I рода; 4) Оба типа разрывов. 7. Дана функция , 1) ; 2) ; 3) . 8. ; 1) ; 2) ; 3) . 9. Какая из функций убывает на R? 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 10. Функция : 1) Не имеет экстремумов; 3) Имеет max; 2) Имеет min; 4) Имеет оба вида экстремумов. 11. Функция : 1) Не имеет асимптот; 3) Имеет вертикальную; 2) Имеет горизонтальную; 4) Вертикальную и наклонную. 12. ; Поверхности уровня этой функции: 1) Эллипсоиды; 2) Однополостные; 3) Двухполостные гиперболоиды.
13. 1) ; 3) ; 2) ; 4) . 14. Точка М стационарная для функции . В этой точке функция: 1) Не имеет экстремума; 2) Имеет экстремум; 3) Может иметь экстремум. 15. Является ли первообразная функции элементарной? 16. Можно ли сказать, что простейшая дробь? 1) Да; 2) Нет. 17. вычисляется с помощью подстановки: 1) ; 2) ; 3) . 18. Определенный интеграл это: 1) Первообразная подынтегральной функции; 2) Предел интегральной суммы; 3) Площадь криволинейной трапеции. 19. 1) Равен ; 2) Сходится и равен ; 3) Расходится. 20. Отрезок прямой вращается вокруг оси у, объем образовавшейся воронки равен (куб.ед): 1) 108p; 2) 18p; 3) 53p. 21. Двойной интеграл это: 1) Объем цилиндрического тела с основанием Д на плоскости х О у; 2) Разновидность определенного интеграла; 3) Первообразная функции определенной в области Д. 22. - это: 1) Длина дуги кривой на ; 2) Криволинейный интеграл I рода по дуге кривой ; 3) Криволинейный интеграл II рода по дуге . 23. Является ли решением дифференциального уравнения ? 1) Да; 2) Нет; 24. Уравнение имеет общее решение вида: 1) ; 2) ; 3) . 25. Можно ли решать уравнение методом неопределенных коэффициентов? 1) Да; 2) Нет, потому что… 26. Сходится ли ряд ? 1) Да; 2) Нет (можно использовать 1ый признак сравнения) 27. Сходится ли ряд ? 1) Да; 2) Нет (Попробуйте использовать интегральный признак сходимости). 28. Какие ряды, заданные формулой общего члена , не являются степенными? 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 29. Ряд Тейлора это степенной ряд, коэффициенты которого определяются так: 1) ; 2) ; 3) . 30. Ряды Фурье это ряды: 1) Степенные; 2) Числовые; 3) Тригонометрические; 4) Гиперболические. 31. Чтобы разложить в ряд по синусам непериодическую функцию заданную на интервале [ а, в ] где 0 < a < в, ее нужно доопределить до периодической: 1) Нечетно; 2) Четно.
Литература.
а) Основная: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (в двух томах) – М.: 1985. 2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М:, 1987. 3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике – М.: 1979, 1997. 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях) – М.: 1986, 1996, 1997. 5. Шипачев В.С. Высшая математика, М., Высшая школа, 1995. 6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Учебник в трех частях- М. Финансы и статистика, 1998. 7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М. Наука, 1988. 8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М. Наука, 1985. б) Дополнительная: 9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М. Наука, 1964-1971 10. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. ИНФА-М, 1997. 11. Баврин И.И. Курс высшей математики, М. Просвещение, 1992. 12. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах, М. Издательство МАИ, 2000. 13. Шипачев В.С. Основы высшей математики, М. Высшая школа, 2001. Содержание
Гофман Виктор Гершонович
Математический анализ Учебно-практическое пособие Подписано к печати: Тираж: Заказ №
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 588; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.205.3.18 (0.092 с.) |