Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Поставим задачу: найти функцию y = f(x), удовлетворяющую уравнению dy/dx = x + 2. Поскольку в уравнение входит производная (дифференциал) искомой функции у – уравнение называют дифференциальным. Умножив обе части равенства на дифференциал аргумента, получим dy = (x + 2)dx и, взяв интегралы от обеих частей равенства, найдем:

(Алгебраическая сумма произвольных постоянных есть произвольная постоянная, её достаточно написать в правой части равенства).

Таким образом уравнение решено – найдена функция, удовлетворяющая уравнению, т.е. обращающая его в тождество: .

В общем случае дифференциальным уравнением называют уравнение F(x, y, y`, y``, …, y<sup>(n)</sup>) = 0, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и ее производные y`, y``, …,y⁽ⁿ⁾.

Если искомая функция y = f(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. (Если независимых переменных две или более, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных).

Порядок дифференциального уравнения – порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. y`` – ky` + by = j(x) – уравнение второго порядка.

Решение (интеграл) дифференциального уравнения – всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения первого порядка, в общем случае имеют вид: F(x, y, y`) = 0 (9.1). Если это уравнение разрешимо относительно y`, то его можно записать в виде: y` = f(x, y) (9.1`).

Для такого уравнения справедлива теорема существования и единственности решения: Если в уравнении y` = f(x, y) функция f(x, y) и ее частная производная f<sub>у</sub>` непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей некоторую точку (х₀, у₀), то существует единственное решение этого уравнения у = j(х), удовлетворяющее условию j(х_о)=у_о. Геометрическая интерпретация – график функции у = j(х) проходит через точку (х₀, у₀).

Из теоремы следует, что уравнение (9.1`) имеет бесконечное множество

решений (и, соответственно, графиков, каждый из которых проходит через одну из точек области D). Условие j(х_о)=у_о называется начальным условием и может быть записано в виде у/_{х =х} = у₀ или у(х₀) = у₀.

 

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = j(х, C) такая, что: 1. удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом значении произвольной постоянной С; 2. для любого начального условия у(х₀) = у₀ существует единственное значение С = С₀, при котором решение у = j(х, С₀) удовлетворяет заданному начальному условию. (Предполагается, что значения х₀ и у₀ принадлежат области D, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения). Нередко решение дифференциального уравнения получается в виде неявной функции F(x, у, С) = 0, которую называют общим интегралом дифференциального уравнения.

 

Частным решением у = j(х, С₀) называют всякое решение, получаемое из общего решения у = j(х, С) при конкретном значении С = С₀. (Функцию F(x, у, С₀) = 0 называют частным интегралом уравнения).

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство кривых, зависящее от одного параметра С. Их называют интегральными кривыми дифференциального уравнения. (Встречаются дифференциальные уравнения, имеющие особые решения, которые не получаются из общего решения ни при каких значениях С. График особого решения - интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. Её называют огибающей семейства интегральных кривых).

Процедура нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием его.

Рассмотрим основные классы уравнений, решения которых могут быть найдены в виде элементарных функций.

Уравнения с разделяющимися переменными – это уравнения вида f₁(x)j₁(y)dx + f₂(x)j₂(y)dy = 0. (9.2).

 

Если ни одна из функций f₁(x), j₁(y), f₂(x), j₂(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f₂(x)j₁(y) оно приводится к виду: (9.3)

– уравнения с разделенными перемеными. Почленное интегрирование

 

последнего уравнения приводит к соотношению: ,

 

которое и определяет общий интеграл исходного уравнения.

Пример: решить уравнение . Перепишем уравнение в виде , откуда, разделяя переменные, получим . Проинтегрируем обе части уравнения: . Решение найдено в виде неявной функции (получен общий интеграл исходного дифференциального уравнения).