Приложения определенного интеграла к задачам практики.

 

1. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b], (рис.6.3) вычисляется по формуле (6.8).

Легко видеть, что площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x); 0 £ f ₂(х) £ f₁(x) и прямыми х = а и х = b определится соотношением

Рис. 6.3

(6.9).

В полярных координатах площадь криволинейного сектора, ограниченная кривой r = r(j) и двумя полярными радиусами j = a и j = b(a < b) определится выражением (6.10),

а площадь фигуры, ограниченной кривыми r₁(j), r₂(j), r₂(j) £ r₁(j) и радиусами j = a и j = b выражением (6.10`).

Рис. 6.4

2. Длина дуги плоской кривой. Пусть на плоскости дана кривая y = f(x). Найдем длину дуги АВ этой кривой между прямыми х = а и х = b (рис.6.4.). Возьмем на дуге точки А, М₁, …, М_i, …, В с абсциссами х₀ =а, х₁, …x_i, …,x_n= b и проведем хорды А М₁, М₁М₂, …, М_i–1M_i, …, M_n–1 B, длины которых обозначим через DS_i. Получим ломаную АМ₁М₂ …М_i …В, вписанную в дугу АВ. Длина ломаной равна . Длиной S дуги АВ называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю: .

Если на отрезке [a, b] функции f(x) и f `(x) непрерывны (кривая – гладкая), то этот предел существует и равен (6.11).

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(j) (a £ j £b), длина дуги равна (6.12).

3. Вычисление объема тела по параллельным сечениям. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S = S(x), то объем части тела, заключенной между плоскостями х = а и x = b, определится формулой (6.13)

4. Объем тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x) и прямыми х = а и х = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения определится соотношением (6.14).

Если вокруг оси Ох вращается фигура, образованная кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x) (0 £ f₁(x) £ f₂(x)) и прямыми х = а и х = b, то объем тела вращения

(6.15).

5. Поверхность тела вращения. Если дуга гладкой кривой y = f(x) (а £ х £ b) вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле (6.16).

6. Работа и давление. Работа переменной силы F = f(x), действующей по оси Ох на отрезке [a, b] вычисляется по формуле (6.17)

Рис. 6.5

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S умноженной на глубину погружения h, на плотность r и ускорение силы тяжести g т.е. р = rghS.

Пример: Какое давление испытывает прямоугольная пластина длиной а и шириной b (a > b), если она наклонена к поверхности жидкости под углом a и ее большая сторона находится на глубине h (рис.6.5)?

Площадь выделенной на глубине х элементарной полоски равна . Следовательно, (r – плотность жидкости). Отсюда находим .

Несобственные интегралы.

Интеграл с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл . При переменном b он является непрерывной функцией b. Предел этой функции при b ® ¥ обозначают (6.18)

и называют несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥). Если этот предел существует и конечен- интеграл называют сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Геометрический смысл в случае f(x) ³ 0 – площадь неограниченной области, заключенной между линиями y = f(x), х = а и у = 0 (ось Ох).

Пример: (рис.6.6) .

 

Аналогично определяются интегралы: (6.18`)

и (6.18``).

Бывает достаточно установить, сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Это позволяют сделать следующие теоремы:

 

1. Если для всех х ³ а выполняется неравенство о £ f(x) £ j(х) и если сходится, то сходится и , причем £ .

2. Если для всех х ³ а выполняется неравенство f(x) ³ j(х) ³ 0, причем расходится, то расходится и .

3. Если интеграл сходится, то сходится и . В последнем случае говорят, что интеграл абсолютно сходящийся.

Пример: исследовать сходимость . Подинтегральная функция знакопеременная. Рассмотрим . Очевидно, что ; . Исходный интеграл сходится абсолютно.

 

Интеграл от неограниченной функции. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна при а £ х < с, а в точке с испытывает бесконечный разрыв. Интеграл (6.19)

называют несобственным интегралом от неограниченной функции.

Если этот предел существует и конечен – интеграл сходящийся, если нет – расходящийся. Аналогично определяются интегралы

(6.19`)

(при а < x £ c и ), и, если функция имеет бесконечный разрыв в точке с внутри отрезка [a, b], (6.19``).

Несобственный интеграл (6.19``) называют сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них. Для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений полезны следующие теоремы: 1. Если на отрезке [a, с] функции f(x) и j(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка j(х) ³ f(x) ³ 0 и сходится, то также сходится; 2. Если на отрезке [a, с] функции f(x) и j(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка f(x) ³ j(х) ³ 0 и расходится то и расходится; 3. Если функция f(x), знакопеременная на отрезке [a, с], разрывная только в точке с и интеграл сходится, то сходится (абсолютно) и .

Пример: Сходится ли ? Подинтегральная функция разрывна при х = 0. В указанном интервале . Несобственный интеграл

сходится, и, соответственно, сходится исходный интеграл.

Тесты

3.10. ;

1) 0; 2) ; 3) .

3.11. ;

1) 0; 2) ; 3) .

3.12.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.13.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.14.

1) ; 2) ; 3) .

3.15. Сходится ли и, если да, то равен:

1) 0; 2) ; 3) 1.

3.16. Сходится ли и, если да, то равен:

1) 0; 2) –3; 3) 2p.

3.17.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.18.

1) Сходится; 2) Расходится.

3.19. Площадь фигуры, ограниченной линиями и , равна (кв.ед):

1) 7; 2) –3,5; 3) 4,5; 4) 6,2.

3.20. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями и составляет (куб.ед.):

1) ; 3) ;

2) ; 4) .