Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приложения определенного интеграла к задачам практики.Стр 1 из 8Следующая ⇒
1. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b], (рис.6.3) вычисляется по формуле (6.8). Легко видеть, что площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x); 0 £ f 2(х) £ f1(x) и прямыми х = а и х = b определится соотношением
В полярных координатах площадь криволинейного сектора, ограниченная кривой r = r(j) и двумя полярными радиусами j = a и j = b(a < b) определится выражением (6.10), а площадь фигуры, ограниченной кривыми r1(j), r2(j), r2(j) £ r1(j) и радиусами j = a и j = b выражением (6.10`).
Если на отрезке [a, b] функции f(x) и f `(x) непрерывны (кривая – гладкая), то этот предел существует и равен (6.11). Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(j) (a £ j £b), длина дуги равна (6.12). 3. Вычисление объема тела по параллельным сечениям. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S = S(x), то объем части тела, заключенной между плоскостями х = а и x = b, определится формулой (6.13) 4. Объем тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x) и прямыми х = а и х = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения определится соотношением (6.14). Если вокруг оси Ох вращается фигура, образованная кривыми y = f1(x) и y = f2(x) (0 £ f1(x) £ f2(x)) и прямыми х = а и х = b, то объем тела вращения (6.15). 5. Поверхность тела вращения. Если дуга гладкой кривой y = f(x) (а £ х £ b) вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле (6.16). 6. Работа и давление. Работа переменной силы F = f(x), действующей по оси Ох на отрезке [a, b] вычисляется по формуле (6.17)
Пример: Какое давление испытывает прямоугольная пластина длиной а и шириной b (a > b), если она наклонена к поверхности жидкости под углом a и ее большая сторона находится на глубине h (рис.6.5)? Площадь выделенной на глубине х элементарной полоски равна . Следовательно, (r – плотность жидкости). Отсюда находим . Несобственные интегралы. Интеграл с бесконечными пределами. Рассмотрим интеграл . При переменном b он является непрерывной функцией b. Предел этой функции при b ® ¥ обозначают (6.18) и называют несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥). Если этот предел существует и конечен- интеграл называют сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Геометрический смысл в случае f(x) ³ 0 – площадь неограниченной области, заключенной между линиями y = f(x), х = а и у = 0 (ось Ох). Пример: (рис.6.6) .
Аналогично определяются интегралы: (6.18`) и (6.18``). Бывает достаточно установить, сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Это позволяют сделать следующие теоремы:
1. Если для всех х ³ а выполняется неравенство о £ f(x) £ j(х) и если сходится, то сходится и , причем £ . 2. Если для всех х ³ а выполняется неравенство f(x) ³ j(х) ³ 0, причем расходится, то расходится и . 3. Если интеграл сходится, то сходится и . В последнем случае говорят, что интеграл абсолютно сходящийся. Пример: исследовать сходимость . Подинтегральная функция знакопеременная. Рассмотрим . Очевидно, что ; . Исходный интеграл сходится абсолютно.
Интеграл от неограниченной функции. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна при а £ х < с, а в точке с испытывает бесконечный разрыв. Интеграл (6.19) называют несобственным интегралом от неограниченной функции. Если этот предел существует и конечен – интеграл сходящийся, если нет – расходящийся. Аналогично определяются интегралы (6.19`) (при а < x £ c и ), и, если функция имеет бесконечный разрыв в точке с внутри отрезка [a, b], (6.19``).
Несобственный интеграл (6.19``) называют сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них. Для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений полезны следующие теоремы: 1. Если на отрезке [a, с] функции f(x) и j(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка j(х) ³ f(x) ³ 0 и сходится, то также сходится; 2. Если на отрезке [a, с] функции f(x) и j(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка f(x) ³ j(х) ³ 0 и расходится то и расходится; 3. Если функция f(x), знакопеременная на отрезке [a, с], разрывная только в точке с и интеграл сходится, то сходится (абсолютно) и . Пример: Сходится ли ? Подинтегральная функция разрывна при х = 0. В указанном интервале . Несобственный интеграл сходится, и, соответственно, сходится исходный интеграл. Тесты 3.10. ; 1) 0; 2) ; 3) . 3.11. ; 1) 0; 2) ; 3) . 3.12. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.13. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.14. 1) ; 2) ; 3) . 3.15. Сходится ли и, если да, то равен: 1) 0; 2) ; 3) 1. 3.16. Сходится ли и, если да, то равен: 1) 0; 2) –3; 3) 2p. 3.17. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.18. 1) Сходится; 2) Расходится. 3.19. Площадь фигуры, ограниченной линиями и , равна (кв.ед): 1) 7; 2) –3,5; 3) 4,5; 4) 6,2. 3.20. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями и составляет (куб.ед.): 1) ; 3) ; 2) ; 4) .
|
|||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 149; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.93.59.171 (0.025 с.) |