Математическое и программное обеспечение АСУТП

Математическое обеспечение - совокупность математических моделей и алгоритмов, используемых для реализации функций управления.

Математические модели - система мат. уравнений, описывающих характеристики объекта моделирования. Модель характеризуется переменными, параметрами и функциональными зависимостями.

Применительно к мат. моделям АСУТП переменными являются:

управляющие воздействия (параметры на выходе); управляемые переменные (параметры на входе); возмущающие воздействия (описывают характер внешнего влияния на объект).

Функциональные зависимости - мат. выражения, которые увязывают входные и выходные параметры модели.

Параметры - значения коэффициентов и других констант, входящих в функциональную зависимость.

Модели используются при реализаций функций АСУТП, требующих количественной оценки отклика объекта на управляющее воздействие. Функции:

автоматическое регулирование; прогнозирование; рекомендации оператору.

Классификация мат. моделей АСУТП:

1. По способу построения:

теоретические (аналитические) строятся по данным о внутренней структуре объекта;

формальные, для построения которых не надо знать физическую природу объекта. С объектом проводятся эксперименты, затем обрабатываются выходные параметры. В результате получаем зависимости между входными и выходными параметрами, которые можно описать аналитически.

2. По типу языка описания:

текстовые содержат описание объекта; графические - топологические схемы; математические.

3. По зависимости переменных от времени:

статические (не зависят от времени) - для описания в установившихся режимах;

динамические (зависят от времени) - для описания переходных режимов, когда параметры объекта существенно изменяются во времени.

4. По зависимости параметров модели от пространственных координат:

с распределенными параметрами - описываются диф. уравнениями в частных производных;

с сосредоточенными параметрами.

5. По степени учета случайных факторов:

статистические (учитывают случайные факторы);

детерминированные (не учитывают случайные факторы).

Для целей управления в АСУТП детерминированные динамические модели.

Виды динамических моделей в АСУТП:

диф. уравнения описывают динамическую зависимость между входными и выходными переменными.

В общем виде это линейное диф. уравнение:

n d^kx_вых(t) m d^lx_вх(t)

∑a_k * = ∑b_l *, где a_k и b_l - переменные.

k=0 dt^k l=0 dt^l

В моделях АСУТП диф. уравнения выше 2-го порядка практически не используются.

переходная характеристика h(t) описывает изменение выходной величины моделируемого объекта при скачкообразном изменении входной величины на единицу при нулевых начальных условиях. при подаче на вход скачкообразного сигнала единичной величины, на выходе получается плавная кривая - переходная характеристика, по виду которой определяют диф. уравнение.

импульсная характеристика k(t) - зависимость выходной величины от дельта функции δ(t), т.е. импульсная характеристика показывает изменение выходной величины от подачи на вход объекта единичного импульса нулевой ширины. Импульсная характеристика представляет собой первую производную от переходной характеристики:

k(t) = dh(t) / dt.

частотные характеристики W(jw) определяет изменение амплитуды и фазы выходной величины в установившемся режиме при подаче на вход объекта гармонического воздействия (синусоиды).

Входная величина: x_вх = A * sinwt.

Выходная величина равна сумме гармоник:

n

x_вых = ∑ B_j * sin(wt + φ_j),

j=0

где B_j - амплитуда j-ой гармоники,

φ_j - фазовый сдвиг j-ой гармоники.

Чаще всего объекты носят линейный характер. Для линейной системы выходной величиной является синусоидальный сигнал:

x_вых = B_j * sin(wt + φ).

Если менять частоту входного сигнала 0 < w < ∞, то ампдитуда и фаза выходного сигнала будут меняться.

Частотная характеристика - функция частоты и времени:

W = x_вых (w) / x_вх (w) = B(w) * sin(wt + φ(w)) / A * sinwt.

Чтобы перейти к функции от частоты, необходимо применить преобразование Фурье:

∞

⌠

F(jw) = ⌡ f(t) * e^{-j w t} dt.

- ∞

После этого получим:

W(jw) = x_вых (jw) / x_вх (jw) = ∑ b_l * (jw)^l / ∑ a_k * (jw)^k = B(w) * e^{j φ(w)} / A.

На практике рассматривают отдельно зависимость амплитуды от частоты и зависимость фазы от частоты, т.е. характеристики:

амплитудно - частотную - отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты;

фазово - частотную характеристику - изменение фазы выходного сигнала по отношению к входному в зависимости от частоты.

Частотная характеристика есть преобразование Фурье от импульсной характеристики:

W(jw) = F [ k(t) ].

передаточная функция - отношениеизображения по Лапласу выходной величины объекта к изображению по Лапласу при нулевых начальных условиях.

Преобразование Лапласа связывает функцию комплексной переменной (изображение) с соответствующей функцией действительной переменной (оригинал):

∞

⌠

L (s) = ⌡ f(t) * e^{- s t} dt,

- ∞

где s = α + jβ - комплексное число,

f(t) - оригинал,

L(s) - изображение.

С помощью проебразований Лапласа диф. уравнение примет вид:

∑ a_k * s^k * X_{l вых} = ∑ b_l * s^l *X_{l вх}.

Следовательно, передаточная функция - функция комплексной переменной:

W(s) = X_{l вых} / X_{l вх} = ∑ b_l * s^l / ∑ a_k * s^k = (b₀ + b₁s +b₂s² +...) / (a₀ + a₁s +a₂s² +...).

Алгоритмы в АСУТП:

Алгоритм - совокупность операций, реализуемых в строго определенной последовательности, выполнение которых приводит к решению конкретной задачи или достижению конкретного результата в соответствии с заданными критериями.

Алгоритм должен обладать следующими свойствами:

однозначность; непротиворечивость; конечность (результат должен был получен за конечное число шагов); массовость (независимость от исходных данных).

В АСУТП существуют алгоритмы реализации основных функций АСУТП, т.е.

алгоритмы сбора и первичной обработки первичной информации; алгоритмы сигнализации; алгоритмы автоматического регулирования;

алгоритмы логического управления; алгоритмы технологических и аварийных защит; алгоритмы отображения информации; алгоритмы мат. моделирования; алгоритмы расчета технико - экономических показателей.

Алгоритмы реализации конкретных функций в АСУТП формируются на основе библиотеки элементарных алгоритмических модулей. В состав такой библиотеки входят:

модули контроля достоверности информации; модули масштабирования входных сигналов;модули фильтрации входных сигналов;

модули восстановления информации от конкретных типов датчиков; модули реализации элементарных функций;

модули моделирования динамических звеньев (усилительного, дифференциального, интегрирующего звеньев); модули нелинейных элементов (зона нечувствительности, зона ограничения, релейные элементы); модули интерполяции нелинейных функций; модули логических операций;

модули автоматического регулирования; модули метрологического обеспечения (вычисление мат. ожидания, дисперсии).

Пользуясь библиотекой можно сконструировать нужный алгоритм.

Рассмотрим модуль масштабирования входных сигналов. На выходе датчиков формируется электрический сигнал: напряжение ил ток. Обработка информации должна проводиться в единицах измерения натуральных величин. Перевод значения электрической величины в значение натуральной величины называется масштабированием.

T⁰ T⁰ = C + (D - C) * (I - A) / (B - A) - алгоритм перевода величины I

в T⁰.

D T⁰ - температура, I - сила тока.

 

C

x_вх (I)

A B