Линейные и нелинейные САУ. Методы линеаризации статических характеристик нелинейных объектов.

Линейной называется система, которая описывается линейными уравнениями. В противном случае система является нелинейной. Чтобы система была нелинейной, достаточно иметь в ее составе хотя бы один элемент, описываемый нелинейным уравнением.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакции на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Благодаря принципу суперпозиции разработана общая теория линейных систем автоматического управления, описываемых линейными дифференциальными уравнениями любого порядка.

К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим. Нет и общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, на основе которой могла бы быть создана общая теория нелинейных систем автоматического управления. Существует лишь ряд частных методов для решения некоторых видов нелинейных уравнений невысокого порядка. Вместе с тем, если не ограничивать диапазона изменения входных воздействий, то все реальные системы автоматического управления оказываются нелинейными. Трудность исследования нелинейных систем заставляет упрощать их описание. Желательным пределом такого упрощения является приближенное описание их линейными уравнениями, хотя бы в некоторых из интересующих нас режимов. Это называется линеаризацией нелинейных систем. В тех случая, когда линеаризация невозможна, прибегают к приближенным методам исследования нелинейных систем с учетом их нелинейностей. В общем случае уравнение динамики оказывается нелинейным, так как реальные звенья САУ обычно нелинейны. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики.

Геометрические методы линеаризации:

1. Линеаризация уравнением касательной (метод малых приращений);

2. Линеаризация уравнением секущей (метод осреднения).

В нормально функционирующей САУ значение регулируемой и всех промежуточных величин незначительно отличается от требуемых. В пределах малых отклонений все нелинейные зависимости между величинами, входящими уравнение динамики, могут быть приближенно представлены отрезками прямых линий. Например, нелинейная статическая характеристика звена на участке АВ (рис.26) может быть представлена отрезком касательной в точке номинального режима А"В".

Т.е. на участке нелинейную статическую характеристику можно заменить прямой . Коэффициент , тогда коэффициент .

Начало координат переносится в точку О’, и в уравнениях записываются не абсолютные значения величин y, g, ν, а их отклонения от номинальных значений: y = y - y_н, g = g - g_н, ν = ν - ν_н. Это позволяет получить нулевые начальные условия, если считать, что при t 0 система находилась в номинальном режиме в состоянии покоя.

Математическое обоснование линеаризации состоит в том, что если известно значение f(a) какой - либо функции f(x) в любой точке x = a, а также значения производных от этой функции в данной точке f’(a), f”(a),..., f⁽ⁿ⁾(a), то в любой другой достаточно близкой точке x + x значение функции можно определить, разложив ее в окрестности точки a в ряд Тейлора: