Условия подбора чисел зубьев. Вывод расчетных формул для условий соосности, соседства и сборки.

Условия, которые необходимо выполнить при подборе чисел зубьев колес типового планетарного механизма:

1. заданное передаточное отношение с требуемой точностью
2. соосность входного и выходного валов механизма
3. свободное размещение (соседство) сателлитов
4. сборку механизма при выбранных числах зубьев колес
5. отсутствие подреза зубьев с внешним зацеплением
6. отсутствие заклинивания во внутреннем зацеплении
7. минимальные относительные габариты механизма.

Рассмотрим эти условия подробнее на примере двухрядного планетарного механизма с одним внешним и одним внутренним зацеплением.

Рис. 16.1

1. Обеспечение заданного передаточного отношения с требуемой точностью:
   Принимаем требуемую точность ± 5%, тогда для рассматриваемой схемы механизма
   u_1h = [ 1+ (z₂ × z₄)/(z₁ × z₃) ] × (0.95... 1.05).
   
2. Обеспечение соосности входного и выходного валов:
   Для этого необходимо чтобы межосевое расстояние в передаче внешнего зацепления (первый ряд) равнялось межосевому расстоянию в передаче внутреннего зацепления (второй ряд), то есть
   a_wI = a_wII ; a_wI= r_w1 + r_w2 = r₁ + r₂ ; a_wII = r_w4 - r_w3 = r₄ - r₃.

Обычно в планетарных механизмах применяются зубчатые колеса без смещения, для которых x_i = 0 и r_wi = r_i = z_i × m / 2. Тогда
r₁ + r₂= r₄ - r₃ Þ m_I (z₁ + z₂) = m_II × (z₄ - z₃).

Принимаем, что m_I = m_II = m, и получаем условие соосности для данной схемы механизма

z1 + z2 = z4 - z3

1. Обеспечение условия соседства сателлитов (при числе сателлитов k > 1):
   Сателлиты размещаются на окружности радиуса a_w.
   Вершины зубьев сателлитов не будут мешать движению друг друга, если выполняется условие
   max (d_a2,3 ) < l_B2B3.

Для зубчатых колес без смещения (h_a^*= 1, x_2,3 = 0, 2 D y = 0) максимальный из диаметров сателлитов равен
max (d_a2,3 ) = max [(z_2,3 + 2 × h_a^* +2 × x_2,3 - 2 D y) × m ] = max[(z_2,3 + 2) × m ].

Расстояние между осями сателлитов
l_B2B3 = 2 × a_w × sin (j_h / 2) = 2 × (r₁ + r₂) × sin (p / k). = (z₁ + z₂) × m × sin (p / k).

Подставим полученные выражения в неравенство и получим условие соседства
max [(z_2,3 + 2) × m ] < (z₁ + z₂) × m × sin (p / k).

sin (p /k) > max [(z2,3 + 2)/ (z1 + z2) ]

1. Обеспечить возможность сборки механизма с подобранными числами зубьев колес при заданном числе сателлитов k > 1:
   Для вывода формулы условия сборки воспользуемся следующим методом:

Допустим, что все сателлиты устанавливаются на оси водила в одном и том же положении - точке В₁. После установки первого сателлита, зубья колес z₁ и z₄ определенным образом установились относительно зубьев венцов сателлита. Тогда установить второй сателлит в этом же положении будет можно, если после поворота водила на угол j _h колесо z₁ повернется на целое число угловых шагов В. При этом зубья колес z₁ и z₄ установятся относительно зубьев венцов сателлита так же, как и при установке первого сателлита.

Угол поворота водила Þ j _h= 2 × p / k
Угловой шаг первого колеса Þ t ₁ = 2 × p / z₁
Угол на который повернется первое колесо при повороте водила на угол j _h
j ₁ = j _h × u_1h Þ j ₁ = 2 × p × u_1h / k

Число угловых шагов t ₁ в угле j ₁ Þ B = j ₁ / t ₁, где B - произвольное целое число.

Подставляем все эти выражения в формулу для B и после преобразований получаем
2 ×p× u_1h × z₁ / (k × 2 ×p ) = B Þ

u1h × z1 / k = B.

Поворачивать водило можно на угол j _h плюс произвольное число p полных оборотов водила, то есть
j _h= 2 ×p / k + 2 ×p× р = 2 ×p / k (1 + k × р).

С учетом этого, формула для условия сборки примет следующий вид:

u1h × z1 / k (1 + k × р) = B.

1. Обеспечить отсутствие подрезания колес с внешними зубьями зубьев:
   Это условие обеспечивается, если для всех колес с внешними зубьями выполняется неравенство z_i > z_min.
   
2. Обеспечить отсутствие заклинивания во внутреннем зацеплении:
   Это условие для передачи внутреннего зацепления, состоящей из колес без смещения, можно обеспечить при выполнении следующих неравенств

z с внеш. зуб. > 20, z с внутр. зуб. > 85,zd = z с внутр. зуб - z с внеш. зуб. > 8.

1. Обеспечить минимальные габариты механизма.
   Для рассматриваемой схемы условие обеспечения минимального габаритного размера R можно записать так
   R = min [ max (z₁ + 2 × z₂ ), (k_K × z₄) ], где k_K - коэффициент, учитывающий особенности конструкции зубчатого колеса с внутренними зубьями.