Числовые характеристики (моменты случайной величины)

Начальные моменты го порядка определяются следующими формулами:

· для дискретной случайной величины

· для непрерывной случайной величины

Начальный момент го порядка называется математическим ожиданием:

· для дискретной случайной величины

· для непрерывной случайной величины

Центральный момент го порядка определяется следующими формулами:

· для дискретной случайной величины

· для непрерывной случайной величины

Центральный момент го порядка всегда равен нулю, то есть

Дисперсия называется центральным моментом второго порядка Она характеризует поведение случайной величины в процессе проведения эксперимента. Дисперсия является центральным моментом второго порядка и определяется следующим образом:

· для дискретной случайной величины

(1.43)

· для непрерывной случайной величины

(1.44)

Дисперсия обозначается Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением или стандартом:

(1.45)

Третий центральный момент , деленный на называется коэффициентом асимметрии .

На рисунке 1.14. приведены виды распределений в дифференциальной форме с различными коэффициентами асимметрии .

 

 

Рисунок 1.14. Дифференциальные формы распределений с ненулевыми

коэффициентами асимметрии

Величина называется коэффициентом эксцесса, рисунок 1.15.

 

 

Рисунок 1.15. Дифференциальные формы распределений с ненулевыми

коэффициентами эксцесса

 

Моменты существуют, если соответствующие интегралы или ряды сходятся. Для случайных величин, значения которых ограничены, моменты существуют.

Нормированная случайная величина

(1.46)

Многие статистические таблицы распределений построены для нормированных случайных величин.

Соотношения между функциями распределения ненормированных и нормированных случайных величин описываются следующими уравнениями:

(1.47)

 

Квантилем распределения случайной величины с функцией распределения называется решение уравнения то есть такое значение случайной величины, что

Если известны два квантиля и то

Квантиль называется медианой распределения, рисунок 1.16.

Рисунок 1.16. Медиана распределения

 

Ордината медианы делит площадь под кривой на две равные части, то есть . Если распределение симметрично,

Квантили и называются симметричными. Для симметричного относительно нуля распределения всегда

 

Нормальное распределение

 

Для нормального закона плотность распределения имеет вид

(1.48)

Функция распределения

(1.49)

 

Теорема Ляпунова. Нормальный закон при некоторых условиях является предельным законом для суммы большого числа независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какому угодно закону распределения.

Нормальное распределение содержит минимум информации по сравнению с любым другим распределением с той же дисперсией. Следовательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным распределением не может привести к переоценке точности наблюдений.

Нормальное распределение нормированной случайной величины называется стандартным

(1.50)

(1.51)

 

Функция называется функцией Лапласа.

Функция Лапласа нечетная поэтому таблицы составлены лишь для

Для нормированной случайной величины

 

(1.52)

 

Эмпирическая функция распределения

 

(1.53)

 

где множество элементов генеральной совокупности.

Теорема Гливенко. С вероятностью 1 при максимальная разность между функциями распределения случайных величин стремится к нулю

 

(1.54)

Пусть - упорядоченная по величине совокупность значений случайной величины (вариационный ряд), тогда

(1.55)

 

Рисунок 1.17. Выборочная функция распределения

 

Все элементы выборки оказываются точками разрыва функции . В точке разрыва функция скачком переходит от значения (в интервале ) к значению , удерживая последнее значение в следующем интервале.

При обработке больших массивов данных используется метод «сгруппированных данных». Весь диапазон изменения случайной величины в выборке делится на интервалов

 

(1.56)

 

с округлением до ближайшего целого. Длина интервала определяется выражением

. (1.57)

 

Число элементов, попавших в й интервал, обозначается

Все точки, попавшие в интервал, относят к его середине

 

(1.58)

 

Рисунок 1.18. Гистограмма