Вероятность, случайные события и случайные величины

 

Случайным событием А называется такое событие при проведении эксперимента, которое может произойти или нет [11]. Поэтому со случайным событием А связывается понятие вероятности . Вероятность вычисляется как отношение числа экспериментов , в котором произошло событие А, к общему числу экспериментов при , то есть

 

(1.1)

 

Вероятность появления случайного события находится в интервале

(1.2)

 

Вероятность характеризует объективную возможность появления данного случайного события или данного значения случайной величины в эксперименте.

Если случайное событие А происходит в каждом опыте, то есть то это достоверное событие. Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю.

Пример. Пусть используется некоторый прибор для измерения шероховатости поверхности пиломатериалов. Шкала прибора показана на рисунке 1.2.

 

Рисунок 1.2. Шкала прибора для измерения шероховатости

 

Вероятность того, что стрелка прибора будет находиться в интервале будет равна , вероятность того, что стрелка прибора выйдет за пределы шкалы ( показание прибора). Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность того, что стрелка прибора будет находиться в диапазоне (рисунке 1.2) находится между нулем и единицей ().

Такое вычисление вероятности (1.1) определяется как свойство «статистической устойчивости частот», то есть это означает, что при увеличении количества проведенных экспериментов отношение очень слабо меняется и может служить оценкой вероятности , то есть

 

(1.3)

где

относительная частота случайного события

Запись (1.3) означает, что .

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает значение, которое нельзя предсказать исходя из условий опыта. Случайная величина может принимать любое значение из множества своих возможных значений даже при неизменных условиях проведения опыта, причем, заранее неизвестно какое именно. Изменение случайной величины от опыта к опыту связано с наличием неучтенных факторов (случайных факторов).

Различают непрерывные и дискретные случайные величины.

· Непрерывная случайная величина заполняет некоторый интервал. Например, температура или влажность.

· Дискретная случайная величина принимает отдельные значения. Например, количество сучков на доске.

Множество всех возможных значений случайной величины образует генеральную статистическую совокупность. Генеральная статистическая совокупность может быть либо очень большой, либо бесконечно большой.

Часть генеральной статистической совокупности называется выборочной статистической совокупностью или выборкой.

 

Теорема Бернулли

 

Согласно теореме Бернулли справедливо следующее неравенство

 

(1.4)

 

где достаточно малое положительное число. Это означает, что разность между относительной частотой го случайного события и вероятностью его появления является сколь угодно малой величиной. Это свойство относительных частот, как уже отмечалось ранее, называется статистической устойчивостью частот.

Вероятность того, что предел разности между относительной частотой и вероятностью стремится к нулю, определяется следующим образом

(1.5)

 

 

Аксиомы Колмогорова

 

1. – вероятность случайного события является неотрицательным числом.

2. – вероятность достоверного события равна единице.

3. – вероятность невозможного события равна нулю.

4. Сложение вероятностей независимых случайных событий имеет вид:

(1.6)

 

где независимые случайные события.

5. Произведение независимых случайных событий описывается

уравнением

 

(1.7)

 

Если случайные события являются зависимыми и событие предшествует событию , то вероятность произведения событий можно представить в виде:

 

(1.8)

 

где – условная вероятность.

Сумма вероятностей равна единице

(1.9)