Общее уравнение динамики Даламбера-Лагранжа

Принцип возможных перемещений также к системе находящихся в движение.

Расмотрим систему точек с идеальными связями. Тогда к- этой точки момент записать:

Где и - равнодействующих активных сил и динамических реакций связи.

Иначе:

К – той точки возможное измещение , заменяем уравнение возможных работ всей системы.

и

т.к , для идеальных связей.

В случае равновесия сил, обобщенная сила всех заданных сил равна нулю, т.е.

;

При равновесии консервативной системы обобщенная сила равна частной производной от потенциальной энергии; по обобщенным координатам равна нулю.

Однако системы могут иметь несколько равновесных положений. Положение А является устойчивым равновесием, так как при малых отклонениях система вернётся в исходном положении. Если не вернётся (В), то равновесие неустойчивое.

φ

φ

С точки зрения потенциальной энергии, устойчивое равновесие будет тогда, когда П имеет min.

Критерий минимума функции П:

(1)

Критерий устойчивости равновесия:

(2)

(2) формула выражает теорему Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы с одной степенью свободы.

Если система имеет s -степеней свободы, то там устойчивое равновесие определяется критерием Сильвестра.

 

ТЕОРИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

Теорема малых колебаний, начав свое развитие с изучения движения маятника, превратилась в самостоятельную дисциплину, с весьма сложным математическим аппаратом.

Развитие вычислительной техники дало возможность решать очень большой класс задач для систем с n -степенями свободы. Для описания колебательных процессов и их количественной оценки, динамических характеристик, необходимо определиться с равновесным, устойчивым состоянием системы.

Пример определения равновесия системы и исследование на устойчивость. Определение критериев устойчивости

 

Дано: ОА=ОВ= ℓ; с – коэффициент жесткости пружины, ℓ -длина нерастянутой пружины.

 

Потенциальная энергия системы равна

П=П₁+П₂=

Удлинение пружины составляет

=…..=

Потенциальная энергия системы равна

П=

Т.к. равновесие в системе будет при условии

= 0

очевидно, что равенство справедливо в двух случаях:

1)

2) откуда:

Эти равновесные положения исследуем на устойчивость:

1) при откуда:

2) при откуда

 

 

Потенциальная и кинетическая энергия системы в обобщенных координатах

Гармонические колебания

Для системы с s -степенью свободы потенциальная энергия, есть функция обобщенных координат

 

Разложим ее в ряд Маклорена по степеням q:

П(q₁….q₅)=П(0)+

Учитывая, что

то

или сокращенно

,

где с - обобщенный коэффициент жесткости системы или квазирующий коэфициент.

Аналогично, рассматривая кинетическую энергию системы, получаем:

,

где а - обобщенный коэффициент инерции системы.

Рассмотрим движение системы, которое возможно относительно равновесного положения, т.е. составим дифференциальное уравнение движения:

если

; П= ,

то по уравнению

Правая часть уравнения Лагранжа:

; тогда

или

(1)

Уравнение (1) - уравнение свободных или гармоничных колебаний.

характеризует циклическую частоту собственных колебаний системы, которые зависят от жесткости системы с и инерционности.

(2)

или

, (3)

где А – амплитуда.

При t =0:

 

Получаем уравнение амплитуды:

Период колебаний равен

Независимость периода от амплитуды – изохронность колебаний.

Пример: Найти частоту собственных колебаний балки.

А= ;

=

П =

Подставим П и Т,

или

где с - жесткость рессора.

 

Затухающее колебание

Диссипативная функция Релея

 

В реальных условиях на любую систему действует сопротивления различного характера (трение, сопротивление среды), поэтому гармонические колебания не встречаются и колебания любой системы будут являться затухающими. Поскольку сила сопротивления среды i –той точки системы противоположна и пропорциональна скорости, то сопротивление R будет равно:

где - коэффициент пропорциональности, характеризует свойства среды.

Происходит потеря кинетической энергии (рассеивание или диссипация), колебания для этой точки, тогда вводится диссипативная функция Релея

,

где b – обобщенный коэффициент диссипации.

Тогда обобщенная сила сопротивления равна:

Таким образом, получим соответствующие уравнения:

П=

Тогда:

(1)

Делим на а и получаем:

Введем обозначением:

; ,

где n - коэффициент затухания.

Тогда для уравнения затухающих колебаний:

(2)

Общий интеграл уравнения (2)

,

где А - амплитудное значение затухающих колебаний;

- начальная фаза колебания.

Частота колебаний равна

На графике колебаний:

- декремент затухания, -nt - логарифм декремента затухания.

Период равен

График затухающих колебаний имеет вид

 

 

Если , то нет полного цикла колебаний (лимитационное колебание)

 

На этом основано действие автомобильных амортизаторов.

Пример: определить частоту, период колебаний передней подвески автомашины.

 

Выбираем обобщение координат

1) определим кинетическую энергию системы:

2) потенциальная энергия системы равна

Т.к

;

то

(1)

3) в положении равновесии

(2)

Подставляя полученное выражение (2) в (1), получим значение потенциальной энергии П в положении равновесия

П= = (3)

Сравнивая полученные выражения (1) и (3) с выражениями

П=

определяем значения коэффициентов а и с.

Частота таких колебаний находится по формуле

Но этого для решения задачи недостаточно, так как надо получить дифференциальное уравнение движения и определить, колебания являются гармоническими или затухающими.

Используя уравнения (1) и (3), получим уравнение типа

;

Колебания затухающие, тогда частота равна

Следовательно, определяем n и k

;

 

Вынужденные колебания

 

Предположим, что на систему в определенной точке действует периодически изменяющаяся сила с частотой ω:

,

где F – возмущающая сила;

ω – частота этой силы;

H – амплитудное значение;

θ – начальная фаза.

Тогда система будет совершать вынужденные колебания и поведение системы будет определяться в основном наличием сопротивления и частоты возмущающей силы .

Тогда уравнение Лагранжа запишется:

,- Фр обобщеных сил (заданых сил)

где Q_R – обобщенная сила сил сопротивления;

Q_F – обобщенная сила сил возмущения.

Дифференциальное уравнение будет выглядеть:

(1)

Уравнение (1) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сил сопротивления.

Если сопротивление отсутствует, то n =0. Тогда система будет совершать гармонические колебания с частотой ω, но не с k.

Текущая амплитуда при наличии сил находится по формуле

Если сопротивление отсутствует (т.е. n =0), то амплитуда равна

Если отсутствует сопротивление частоты собственных колебаний совпадают с частотой вынуждающих сил (), то наступает явление резонанса и амплитуда неограниченно возрастает (А → ∞). Конструкция разрушается.

 

Свойства вынужденных колебаний

 

1. Вынужденные колебания при линейном сопротивлении являются незатухающими с постоянной амплитудой.

2. Сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которые совпадают с частотой возмущающей силы.

3. Вынужденные колебания при линейном сопротивлении не зависят от начальных условий.

4. Резонанс () наступает при отсутствии (малом) сопротивлении и совпадении частот k и ω.

Теория удара

 

В результате действия на систему обычных не ударных сил за ничтожно малый промежуток времени скорость отдельной точки тела будет изменяться на бесконечно малую величину

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную (заметную) величину, называется ударом.

Если скорость точки тела до удара , а после удара , то используется теорема об изменении количества движения:

;

где τ – время удара;

- среднее значение ударной силы.

Так как при ударе развиваются очень большие силы, то берется среднее значение ударной силы.

,

где - ударный импульс

В теории удара принимается ряд допущений:

1. действием неударных сил пренебрегают;

2. не учитывается перемещение тела в процессе удара;

3. результат действия ударной силы на тело выражается в конечном

изменении вектора скорости.

Суммируя по n -точкам системы, получим теорему об изменении количества движения при ударе

,

где - сумма внешних ударных импульсов (внешних ударов).

Если внешний удар равен нулю, то

К=К_о=const,

т.е. имеет место закон сохранения количества движения системы при ударе.

 

Коэффициент восстановления

Величина ударного импульса зависит не только от масс и скоростей соударяемых тел, но и от упругих свойств этих тел, которые характеризуются коэффициентом восстановления

;

т.к

в процессе удара произошла потеря энергии, которая затрачивается на остаточную деформацию тела, на выделение тепла, на образование звука…

поскольку ; , то:

Самый высокий коэффициент восстановления у стекла - 15/16; у стали - 5/9; у дерева - ½.

Если в течение удара нет фазы восстановления после удара (K =0), то это - абсолютно неупругий удар (к примеру – пластилин).

Если h=H, т.е. K=1 – это абсолютно упругий удар, что не реально на практике.

Если - то это не вполне упругий удар.

При ударе угол падения не равен углу отражения.

 

 

На коэффициент восстановления тела K влияет и форма тела, а не только масса m и скорость V, т.к. происходит изменение условий распределения ударной волны в самом теле, что приводит к изменению упругих свойств самого тела.

 

Скорость удара будет

Различаться и обусловленое

Формулой тел.

 

 

Теорема об изменении кинетического момента системы при ударе

 

При ударе изменение кинетического момента равно сумме моментов внешних ударных импульсов:.

т.к то

Т.е. изменение угловой скорости тела при вращение вокруг оси Z вследствие удара прямо пропорциональна моменту ударного импульса относительно оси и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно точки оси.

Центр удара

 

Если поменять местами оси привеса и качания, то период не изменится (теорема Гюйгенса). Точка К – центр удара. Если внешний удар приходится в точку К, то отсутствуют динамические составляющие реакции шарнира.

Примечание: для стержня длиной l центр удара приходится на h=2/3l

Приведённая длина физического маятника соответствует расстоянию от оси привеса до центра удара и определяется по формуле

 

 

Рекомендованные темы для самостоятельного изучения динамики системы; не вошедшую в учебную практику:

1. Движение тел, перемещение массы. Формула Циолковского.

Уравнение Мещерского.

2. Приближенная теория гироскопа. Навигационные системы.

3. Задачи оптимизации процессов и конструкций методом множителя Лагранжа.

4. Движение системы с n -степенями свободы. Элементы робототехники.

5. Электронные аналоговые машины.

 

 

^{В разработке электронной версии курса лекций по теоретической механике (динамика) принимали участие студенты групп: 03-А-АД 1- Брагин Д. И., 04-А-АД 2 - Филин А., 04-А-АД 3 -Ляшко В. Г.}

^{Рецензент: доктор технических наук, заведующий кафедрой теоретической механики, профессор Смелягин А. И}

^.

^{Краснодар, 2006 год}