Геометрия масс. Теорема о движении ценра масс Механической системы.

Рассмотрим систему материальных точек массы которых и .Положение точки определима радиуса – вектором , а точки С – вектором .

Радиус-вектор можно определить по формуле: (1), где - масса тела.

 

Проектируя (1) на оси координат: , ,

Из (1) получим:

Уравнение движения К-той точки запишется: (2)

Суммируя его к точкам системы и учитывая, что , то получим левую часть уравнения (2):

Тогда уравнение (2) запишется:

 

Эта формула выражает теорему о движении центра масс механической системы:

Центр масс механической системы движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы.

 

Следствие: Если т.е все внешние силы уравновешиваются, тогда ,→ .

Следствие выражает закон сохранения покоя или равномерное прямолинейное движение центра масс

В проекции на ось координат:

⁽⁵⁾

α

X_e= (6) Y_e=

Система состоит из двух объектов и находится в покое

Дано: m m₂ V_o =0 m₂ =

Найти: при смещении груза на .

 

Т. к. , то определяем S_{1= ………} (м)

 

Кинетический момент точки и систем

Теоремы об изменении момента количества движения материальной точки и системы

Теорема моментов

До сих пор мы вычисляли момент силы относительно некоторого неподвижного центра О.

(1)

где - радиус, вектор точки, проведенный из неподвижного центра О.

Аналогично вычислим момент количества движения точки относительно неподвижного центра О:

- выражает кинетический момент точки и аналогично моменту запишем:

 

Установим зависимость кинетического момента точки и момента силы F, действующей на нее. Для чего продифференцируем по t:

по: т.к. ()

, следовательно:

(3)

Векторная производная от кинетического момента точки по времени равна моменту силы, действующей на нее относительно той же неподвижной точки О. Если момент силы равен нулю, то кинетический момент остается постоянным, что выражает закон сохранения кинетического момента:

т.е. . В координатной форме:

_{Груз веса Р двигается по окружности радиуса со скоростью , а затем на расстоянии от Z}

_{Найти и}

_{, т. к. , то . Т. е. или}

_{через :}

 

При изменении до

КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ

 

Рассмотрим систему материальной точки и выберем точку М_k массой m_к,скорость которой V_k, на нее действуют внешние и внутренние силы и . Тогда для системы и точек:

_{; = К=1…….n}

↓ ↓

_{кин.мом.сист.} -главный момент внешних сил

_{-главный момент внутренних сил равен 0}

Тогда: (7). Тогда формула (4) выражает теорему о изменении кинетического момента системы в дифференциальной форме: векторная производная от момента количества движения системы по времени относительно центра 0 равна главному моменту внешних сил относительно такого же центра.

(4) в координатной форме:

Следствие: закон сохранения кинетического момента системы: если (главный момент внешних сил относительно неподвижного центра = О), то и кинетический момент системы есть величина постоянная.

т.е. (5)

Кинетический момент твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси

Вычислим для точки массой m:

Для всего тела:

Здесь -момент инерции тела.

Следовательно

кинетический момент твердого тела относительно оси равен произведению моменту инерции тела на угловую скорость.

 

Для демонстрации закона сохранения кинетического момента системы представлена платформа Жуковского: ℓ→R

ω

Дано:

Найти: при переходе точки на край диска

 

I. т.е.

=

↓ ↓

Т. к.. , то: ,

 

II. Если не равен 0:

Если пусть интегрируя:

 

Здесь:

2) (2) В момент t сек точка массой переходит в положение В, имея при этом относительную скорость , тогда

↓ ↓

 

3) (3), где т. к. получаем , приравнивая равенства (2) и (3)

ω