Основной Закон динамики: «произведение массы точки на ускорение, которое она получает под воздействием силы, равно по модулю этой силе, а направление силы совпадает с ускорением».

КУРС ЛЕКЦИЙ

по теоретической механике для студентов

очной и заочной форм обучения

 

Динамика

 

 

Краснодар, 2006 г.

 

 

Введение

Курс лекций составлен в соответствии с программой курса для студентов дневной формы обучения и может быть использован для самостоятельной работы над курсом студентами всех специальностей, может служить дополнением к учебнику и средством для углубленного закрепления изучаемого материала при самостоятельной работе, в том числе и для студентов заочной формы обучения.

Курс лекций содержит обзор теоретических сведений, необходимых для решения задач, связанных с применением теорем динамики точки и системы. Приведены примеры решения типовых задач.

ДИНАМИКА

ПРЕДМЕТ ДИНАМИКИ

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

 

Динамикой называется раздел механики, в котором устанавливаются и изучаются движения тел в зависимости действующих на них сил.

Основоположником динамики считается Галилей (16в.). Именно он ввел понятие скорости и ускорения. Он сформулировал 1-ый закон инерции.

Голландский ученый Гюйгенс ввел понятие момента инерции, центробежной силы, изобрел часы, теорию маятника.

Кибальчич за неделю до своей казни, находясь в тюрьме, разработал теорию ракетного движения.

Исаак Ньютон (1727г. смерти) «Математические начала натуральной философии»1687г., обобщил, объяснил и сформулировал основные законы классической механики. Установил, что количество движения системы определяется только внешними силами. Однако область применения законов Галилея-Ньютона имеет определенные ограничения: если скорости приближенны к С=3*10⁵ м/с, то вступают в действие релятивистские законы динамики, разработанные Эйнштейном (релятивистская механика). В этой теории законы Галилея-Ньютона являются частными случаями.

Огромный вклад в развитие теоретической механики также внесли: Эйлер, Циолковский, Ломоносов, Ландау, Сахаров, Басов, Прохоров, Келдыш, Королев, Крылов, Жуковский, Ляпунов, Мещерский, Ишлинский, Даламбер, Лагранж (основал аналитическую механику).

В основе классической механики лежит два допущения, утверждающие существование абсолютного пространства и абсолютного времени. Предполагается, что пространство обладает чисто геометрическими свойствами, а время по Ньютону – независимо. Также допускается, что масса не зависит от скорости движения, то есть m=const.

Для удобства расчетов используется понятие «материальная точка».

Это возможно тогда, когда: 1. Тело находится в поступательном движении

2. Тело мало по сравнению с траекторией

(планета)

В основе динамики лежат законы Галилея-Ньютона (аксиомы). Эти аксиомы выполняются в определенной системе отсчета.

 

Условно неподвижная система отсчета, в которой выполняются законы Ньютона, называется инерциальной.

Если система подвижна, то она является неинерциальной системой.

Система, связанная с центром Землиназывается геоцентрической системой координат.

Система координат, связанная с центром Солнца называется гелиоцентрической.

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

1. Закон инерции Галилея: «материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие других тел не изменит это состояние».

Иначе говоря (по Никитину): «материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.»

Такое движение называется движением по инерции, а такая точка – изолированной.

Закон Всемирного тяготения

F= γ

γ – гравитационная постоянная

m – гравитационная масса

M – инертная масса

r – расстояние

Классическая динамика Ньютона считает массу неизменной.

Масса – количество вещества в единице объема.

Сила в технической системе:

1кГс=9,8Н 1Па = 0,1кгс/м²

1Н ≈0,102кГс 1МПА = 10атмосфер

1атм. =

Если Р - вес тела, а =q (ускорение свободно падающего тела) то:

откуда:

Третий закон: (равенство действия и противодействия):

«Силы, с которыми два материальных тела, действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению»

4. Закон независимости действия сил: « если на материальное тело одновременно действуют несколько сил, то ускорение, которое оно получит, будет равно сумме тех ускорений, которое оно получило бы, если бы каждая сила действовала на тело отдельно».

, т.е.:

 

Динамика решает две основные задачи.

1. Известен закон движения материальной точки, найти приложенные силы.

2. Основная задача динамики: известны силы - найти закон движения.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки и их интегрирование.

Пример. Первая задача динамики.

В неподвижной системе координат движется материальная точка массой m.

Ее движение обусловлено действием некоторой силы.

К-коэффициент.

М(Х; Y) Х=rcos = rcos kt

Y= rsin =rsin kt

 

φ

В проекции на оси X и Y:

= ∑X; = ∑Y

 

сos kt; - m r k cos t =∑X; F=

sin kt; - m r k sin kt =∑Y;

 

Отметим, что ∑X и ∑Y отрицательные, следовательно, F направлена к центру и называется центральной т.е.

 

 

так как r² = ОМ² =Х² +У² или Х² +У² - r² = 0 – т.е. траекторией движения является окружность.

 

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

1) Переносное движение - не равномерное вращение

 

т.е. справедливо равенство (3)

 

2) Переносное движение – равномерное вращение:

 

3) Переносное движение неравномерное (поступательное):

 

4) Переносное движение равномерное; прямолинейное поступательное:

т.к.

и тогда:

 

 

т.е. при переносном поступательном равномерном и прямолинейном движении системы относительное движение несвободной точки в этой системе происходит также как и в неподвижной системе, т.к. описываются одинаковыми уравнениями (4) и (1). Все механические явления в системе отчет, которые движутся по отношению к неподвижной системы равномерно, прямолинейно, поступательно происходит также как и в неподвижной системе и никакими методами и измерениями,(наблюдениями) нельзя обнаружить движение подвижной системы.

(Принцип относительной классической механики Галилея).

 

 

СЛУЧАЙ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПОКОЯ

 

Если , , , , то , тогда уравнение (3) примет вид:

В случае относительного покоя несвободной материальной точки она находится в динамическом равновесии под воздействием заданных сил (равнодействующая ), динамической реакции связи (равнодействующая ) и переносной силы инерции (), геометрическая сумма которых равна нулю, и выражает принцип Даламбера для несвободной материальной точки.

 

При , получим N=0, т. е. состояние невесомости

 

НЕВЕСОМОСТЬ материальной точки – отсутствие давления этой точки на каждое из тел с которым оно может соприкасаться. Система отсчета в которой наблюдается невесомость называется собственной системой отсчета, в ней выполняются условия: главный вектор и главный момент относительно любого центра приведения равны 0. Это соотношение можно создать искусственно в самолете.

 

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ

 

Две основных меры механического движения и действия силы.

Импульс силы. Теорема импульсов.

 

Динамика рассматривает 2 случая преобразования механического движения;

1)механическое движение формально переносится с одной системы на другую в результате непосредственного взаимодействия (соударение бильярдных шаров).

2)Механическое движение превращается в другую форму материи (тепло).

Многолетний спор по поводу мер механического движения закончил Ф. Энгельс:

*мера движения в первом случае - количество движения.

* Мера механического действия силы- импульс (S) (Нсек)

*Во втором случае – кинетическая энергия

- мера действия силы - работа A= Р∙Х (Нм)

 

 

СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Классификация сил действующих на систему. Дифференциальные уравнения движения системы в общем виде.

 

Системой материальной точки или механической системы называется такая совокупность материальных точек известным образом связанных между собой так, что движение одной из них является зависимым от остальных. Если движение такой системы не ограничено в пространстве- это свободная механическая система, если движение ограничено в одном из направлений- соответственно не свободная система.

В динамике системы силы будем классифицировать как: заданные и реакции связи(динамические), а также силы внешние и внутренние(с которыми отдельные точки системы действуют друг на друга).

 

- Равнодействующая внешних сил.

- Равнодействующая внутренних сил.

По свойству внутренних сил их равнодействующих, т.е. главный вектор и главный момент будут равны 0:

Потому при движении системы, определяющим фактором являются внешние силы.

Дифференциальное уравнение движения системы:

К=1……n

n таких уравнений и является дифференциальными уравнениями системы в общем виде.

 

 

ТЕОРИЯ ИМПУЛЬСОВ

Складывая ломанные, получаем - .

Количество движения - это вектор, равный геометрической сумме количества движения отдельных точек системы. Если тело или система вращаются, то для любой пары точек при вращении тела количество движения =0 и

будет определять только поступательное движение.

Рассматривая К-ую точку системы с учетом действия внешних и внутренних сил:

суммируя по точкам системы, соответственно получим

(1)

Формула (1) выражает теорему о количество движения системы «К» в дифференциальной форме. Векторная производная от количества движения системы по времени равно главному вектору внешних сил

СЛЕДСТВИЕ: Закон сохранения количества движения системы:

1) Если главный вектор внешних сил равен нулю, т.е. внешние силы взаимноуравновешиваются ((, то количество движения системы постоянная величина, = соnst. т.е.

2) Если гл.вектор не равен 0, (. Тогда ,

(2) т.е.

Изменение количества движения системы за определенный промежуток времени равен импульсу равнодействующей внешних сил.

В координатной форме(например на ось Х): (3) если X^е=0, то проекция кол-ва движения

 

ПРИМЕРЫ: Дано V_o=0 m_1…m_n

(1)

ω

 

α

 

 

В момент t, за счет электродвигателя создается угловая скорость ω₂, которая создает скорости V₄ и V₃

V₄= V₂- ω₂ V₃=R₂∙ ω₂ где V₁скорость реагирования корпуса веса

 

 

На основании (1) К_х^нач=0, то 0= отсюда находим

α

Если здесь ,

если расход воды, где F - теорема в проекции на ось Х:

т. к..

, тогда: , откуда

 

 

Теорема моментов

До сих пор мы вычисляли момент силы относительно некоторого неподвижного центра О.

(1)

где - радиус, вектор точки, проведенный из неподвижного центра О.

Аналогично вычислим момент количества движения точки относительно неподвижного центра О:

- выражает кинетический момент точки и аналогично моменту запишем:

 

Установим зависимость кинетического момента точки и момента силы F, действующей на нее. Для чего продифференцируем по t:

по: т.к. ()

, следовательно:

(3)

Векторная производная от кинетического момента точки по времени равна моменту силы, действующей на нее относительно той же неподвижной точки О. Если момент силы равен нулю, то кинетический момент остается постоянным, что выражает закон сохранения кинетического момента:

т.е. . В координатной форме:

_{Груз веса Р двигается по окружности радиуса со скоростью , а затем на расстоянии от Z}

_{Найти и}

_{, т. к. , то . Т. е. или}

_{через :}

 

При изменении до

КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ

 

Рассмотрим систему материальной точки и выберем точку М_k массой m_к,скорость которой V_k, на нее действуют внешние и внутренние силы и . Тогда для системы и точек:

_{; = К=1…….n}

↓ ↓

_{кин.мом.сист.} -главный момент внешних сил

_{-главный момент внутренних сил равен 0}

Тогда: (7). Тогда формула (4) выражает теорему о изменении кинетического момента системы в дифференциальной форме: векторная производная от момента количества движения системы по времени относительно центра 0 равна главному моменту внешних сил относительно такого же центра.

(4) в координатной форме:

Следствие: закон сохранения кинетического момента системы: если (главный момент внешних сил относительно неподвижного центра = О), то и кинетический момент системы есть величина постоянная.

т.е. (5)

Кинетический момент твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси

Вычислим для точки массой m:

Для всего тела:

Здесь -момент инерции тела.

Следовательно

кинетический момент твердого тела относительно оси равен произведению моменту инерции тела на угловую скорость.

 

Для демонстрации закона сохранения кинетического момента системы представлена платформа Жуковского: ℓ→R

ω

Дано:

Найти: при переходе точки на край диска

 

I. т.е.

=

↓ ↓

Т. к.. , то: ,

 

II. Если не равен 0:

Если пусть интегрируя:

 

Здесь:

2) (2) В момент t сек точка массой переходит в положение В, имея при этом относительную скорость , тогда

↓ ↓

 

3) (3), где т. к. получаем , приравнивая равенства (2) и (3)

ω

Примеры вычисления работы силы

 

1. Работа силы тяжести. Р-вес тела. Здесь Х=0, Y=0, Z=-P

dA=Zdz

(Нм)

 

 

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории перемещения точки. В таких случаях сила действующая на точку называется потенциальная.

 

2. Работа упругой силы.

где «с» коэффициент жесткости пружины

dA=-cxdx

Эл. работа:

т. к. ch=Pmax. (здесь )

 

Здесь перемещение может происходить по различным траекториям. Работа же не зависит от формы перемещения точки, упругая сила Р– тоже потенциальная сила.

3. Работа силы трения.

Работа зависит от dS, т.е сила F_тр не потенциальная.

 

4.Работа момента силы.

но или

при F=const

dφ

ω

τ

 

Мощность силы

 

Мощность силы – величина,определяющая работу силы, совершенную в единице времени.

Ватт=дж.сек. (1)

Т.к как в настоящее время используются две системы единиц: СИ и техническая система единиц, то в технической системе ед. где 1л\с= 75кГс.м

А в системе СИ:

(где -кГсм, - сек)

 

Теорема Кенига

Рассмотрим общий случай движения твердого тела по отношению к неподвижной системы координат. Положим, что тело в своём относительном движении совершает поворот вокруг мгновенной оси РС с мгновенной угловой скоростью ω.

«С» имеет скорость

скорости

ω

 

Тогда кинетическая энергия тела: Т= )=

(1)

^тогда: Т=

 

Здесь так как во вращении вокруг оси РС выражение для любой пары точек, как указывалось в теореме о количества движения системы, т. е. кинетическая энергия твердого тела при любом его движении равна сумме кинетической энергии центра масс,в котором сосредотачивается вся масса системы(М), и кинетическая энергия тела в его относительном движении по отношению к центру масс.

Частные случаи

^{1. Поступательное движение точек тела}

^{2. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси:}

 

Плоско параллельное движение твердого тела , где

- момент инерции тела относительно оси СР

Примеры вычисления кинетической энергии системы

α

ω

ω

ω

Дано: ω, OА,

Теорема об изменении кинетической энергии системы

	τ

р

Расмотрим движение точки массой m под действием силы по

Установим зависимость между работой силы и кинетической энергией:

dS – элементарное перемещение вдоль касательной.

 

(1)

Уравнение (1) выражает теорему об изменении кинетической энергии. Таким образом, изменение кинетической энергии материальной точки при некотором ее перемещении равно работе, действующей на нее силы на том же перемещении, т.е. за счет изменения кинетической энергии совершается работа.

Рассмотрим систему n точек M₁ … M_n и рассмотрим M_k -точку, к которой приложены внешние и внутренние силы, тогда суммируя по n точкам системы, получим

Т.К работа внутренних сил равна нулю (), то выражение теорема об изменении кинетической энергии будет иметь вид:

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равна сумме работ всех внешних сил, действующих на систему на том же перемещении.

Частные случаи

1.Поступательное движение твердого тела

Система сил инерции точек приводится к главному вектору сил инерции: ,

где - сумма масс всех точек;

а_с - ускорение центра масс.

Если радиус-вектор i -ой точки умножить на равенство (1), то получим:

Т.е. геометрическая сумма главных вектор-моментов заданных сил, реакций связи и вектор –момента от силы инерции в любой момент времени равна нулю.

ε

τ

2. Вращательное движение

Касательное ускорение обеспечивается (моментом внешних сил), который равен:

τ

Очевидно, что момент от силы инерции противоположен т.е

т.е. направление главного момента от сил инерции противоположно направлению углового ускорения .

Таким образом, при вращении тела вокруг оси силы инерции точек тела приводится только к главному моменту сил инерции относительно оси:

3. Плоско-параллельное движение

Тело двигается в плоскости симметрии xoy. Ускорене центра масс и угловое ускорение известны.

В данном случае система сил инерции точек тела приводится к главному вектору сил инерции и к главному моменту от сил инерции относительно

ε

;

 

 

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

 

Обобщенные координаты

Число степеней свободы

Перемещение системы и отдельных ее точек не может происходить произвольно. Их перемещение ограничено определенными условиями - связями. В динамике связи будем классифицировать по ряду признаков:

1. Стационарная и нестационарная связь

Стационарная связь - это связь, уравнение которой не содержит времени.

В противном случае связь нестационарная. Например крльцо А:

u - скорость троса

текущая длина троса

- уравнение связи

Эта связь нестационарная т.к ее уравнение входит время t:

2. Стационарная, односторонняя неудерживающая

 

3. Стационарная, двухсторонняя удерживающая

 

 

4. Связь, не накладывающая ограничения на скорость тела, называется

голономной связью. Связь, накладывающая ограничения на скорость называется неголономной связью.

В аналитической механике применяется принцип освобождаемости от связей и тогда отдельные точки являются свободными и к ним приложены все заданные силы и реакции связей. Отдельные точки системы могут совершать определенные перемещения, допускаемые связями. Возможными или виртуальными перемещениями точек системы называют воображаемые, бесконечно малые перемещения точек, которые допускают связи, наложенные на систему в данный момент. Например: и

δS

- прямолинейные в виду их малости

		δφ
		δφ