Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

 

Учитывая, что плоское движение есть совокупность поступательного движения вместе с полюсом «С» и вращается вокруг «С», а уравнения плоского движения:

φ= φ(t) то:

дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела:

φ

ω

φ =

φ= =

 

РАБОТА СИЛЫ НА КОНЕЧНОМ ПУТИ

Для характеристики действия силы на тело при некотором его перемещении вводится понятие работы силы (скалярная величина). При этом работу совершает та сила, которая может изменить модуль скорости, но не направление.

τ

dA=F_τ dS

F_τ=Fsinα-может изменить модуль скорости

меняет направление скорости но не модуль поэтому работы не совершает.

Элементарная работа: dA=F_τ dS(1) где проекция силы на направление- перемещения.

Если движение описать в векторной форме, то (2)

В координатной форме (3)

F_x F_yF_z -проекция сил; где -приращение радиуса-вектора точки приложения

Тогда работа силы F на участке : (4)

 

Примеры вычисления работы силы

 

1. Работа силы тяжести. Р-вес тела. Здесь Х=0, Y=0, Z=-P

dA=Zdz

(Нм)

 

 

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории перемещения точки. В таких случаях сила действующая на точку называется потенциальная.

 

2. Работа упругой силы.

где «с» коэффициент жесткости пружины

dA=-cxdx

Эл. работа:

т. к. ch=Pmax. (здесь )

 

Здесь перемещение может происходить по различным траекториям. Работа же не зависит от формы перемещения точки, упругая сила Р– тоже потенциальная сила.

3. Работа силы трения.

Работа зависит от dS, т.е сила F_тр не потенциальная.

 

4.Работа момента силы.

но или

при F=const

dφ

ω

τ

 

Мощность силы

 

Мощность силы – величина,определяющая работу силы, совершенную в единице времени.

Ватт=дж.сек. (1)

Т.к как в настоящее время используются две системы единиц: СИ и техническая система единиц, то в технической системе ед. где 1л\с= 75кГс.м

А в системе СИ:

(где -кГсм, - сек)

 

Вычисление кинетической энергии тела в общем случае его движения

Теорема Кенига

Рассмотрим общий случай движения твердого тела по отношению к неподвижной системы координат. Положим, что тело в своём относительном движении совершает поворот вокруг мгновенной оси РС с мгновенной угловой скоростью ω.

«С» имеет скорость

скорости

ω

 

Тогда кинетическая энергия тела: Т= )=

(1)

^тогда: Т=

 

Здесь так как во вращении вокруг оси РС выражение для любой пары точек, как указывалось в теореме о количества движения системы, т. е. кинетическая энергия твердого тела при любом его движении равна сумме кинетической энергии центра масс,в котором сосредотачивается вся масса системы(М), и кинетическая энергия тела в его относительном движении по отношению к центру масс.

Частные случаи

^{1. Поступательное движение точек тела}

^{2. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси:}

 

Плоско параллельное движение твердого тела , где

- момент инерции тела относительно оси СР

Примеры вычисления кинетической энергии системы

α

ω

ω

ω

Дано: ω, OА,

Теорема об изменении кинетической энергии системы

	τ

р

Расмотрим движение точки массой m под действием силы по

Установим зависимость между работой силы и кинетической энергией:

dS – элементарное перемещение вдоль касательной.

 

(1)

Уравнение (1) выражает теорему об изменении кинетической энергии. Таким образом, изменение кинетической энергии материальной точки при некотором ее перемещении равно работе, действующей на нее силы на том же перемещении, т.е. за счет изменения кинетической энергии совершается работа.

Рассмотрим систему n точек M₁ … M_n и рассмотрим M_k -точку, к которой приложены внешние и внутренние силы, тогда суммируя по n точкам системы, получим

Т.К работа внутренних сил равна нулю (), то выражение теорема об изменении кинетической энергии будет иметь вид:

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равна сумме работ всех внешних сил, действующих на систему на том же перемещении.