Основні поняття математичної статистики

Вихідним поняттям статистики є сукупність, яка об’єднує зазвичай певну множину досліджуваних (учнів, студентів) за однією або кількома ознаками, що цікавлять дослідника. Головна вимога до виділення сукупності вивчення – це її якісна однорідність, наприклад, за рівнем знань, компетентністю, інтелектуальним розвитком, вихованістю та іншими ознаками. Члени сукупності можуть порівнюватися між собою по відношенню лише тієї якості, яка стає предметом дослідження. При цьому абстрагуються від інших якостей, які не цікавлять дослідника. Так, якщо педагога цікавить успішність учнів, то він не звертає уваги на їхній зріст, масу та інші параметри, які не відносяться безпосиредньо до предмету вивчення.

Доречність застосування того чи іншого статистичного методу залежить від стособу утворення досліджуваної сукупності і від кількості досліджуваних. Застосування більшості статистичних методів грунтується на ідеї використання невеликої випадкової сукупності досліджуваних із загального числа тих, на яких можна було б поширити (генералізувати) висновки, одержані в результаті вивчення сукупності. Ця невелика сукупність в статистиці називається вибірковоюсукупністю (або коротше – вибіркою). Головний принцип формування вибірки – це випадковий вибір досліджуваних із мислимої множини учнів, яка називається генеральною сукупністю. Генеральну сукупність становлять ті учні, на яких можна поширити (генералізувати) висновки, одержані на вибірці. Відповідно об’єм генеральної сукупності залежить ніби від рівня «претенціозності» дослідника. Але зі збільшенням обсягу генеральної сукупності виникають труднощі організаційного характеру. для постановки строгого експерименту кожен учень, скажімо, області чи республіки, повинен мати шанс потрапити у вибіркову сукупність експерементатора (в експериментальну чи контрольну групу), що, звісно, практично важко здійснити. Тому генеральна сукупність нерідко обмежується учнями міста (якщо воно невелике), або району (якщо дослідження не проводиться на обласній чи республіканській вибірці), але тут виникає друга складність: яка, взагалі кажучи, науці користь від того, що дані експерименту обмежуються місцевими масштабами? Такого роду складність зазвичай розв’язується компромісом у бік збільшення генеральної сукупності до меж, які теоретично допускають кожного члена генеральної сукупності у вибіркову сукупність.

Числове значення ознаки, за якою групуються дані, називається варіантною, а кількість випадків, що припадають на кожну групу – частотою.. ряд розполділу частот складає початкову форму репрезентації експериментального матеріалу, на основі якої проводиться його подальша кількісна обробка та графічна ілюстрація, що необхідна для досягнення наочності досліджуваних даних, полегшення їхнього якісного аналізу, збереження і подальшого використання.

Шкільний клас, на якому проводиться більшість педагогічних експериментів, не є строго кажучи, випадковою вибірковою сукупністю. Є класи, як відомо, з гарною в середньому підготовкою, а є й з недостатньою. Методи, ефективні, скажімо, в класі однієї школи, можуть виявитися неефективними у другому класі того ж самого міста, області – в залежності від якості навчання і виховання, кваліфікації педагогів, якості підручників, стану матеріальної бази і ще від багато чого іншого.

Властивості сукупності характеризуються за певною ознкою середніми величинами, які є узагальненою характеристикою якісно однорідної сукупності за певною кількісною ознакою. Не можна, наприклад, обчислити середню спеціальність або середню національність студентів університету, оскільки спеціальність і національність – якісно різнорідні явища. Зате можна і треба визначити середню кількісну характеристику їхньої успішності (середній бал), ефективності методичних систем, прийомів, технологій, рівня вихованості тощо. В педагогічних дослідженнях зазвичай застосовують різні види середніх величин: середня арифметична, середня геометрична, медіана, мода тощо. Найбільш поширені середня арифметична, медіана і мода.

В педагогічних дослідженнях найчастіше обчислюють рівень статистичної вірогідності між двома середніми і обчислюють коефіцієнт кореляції, тобто мігу статистичного взаємозв’язку між показниками. Але при проведенні педагогічних експериментів не досить одержати єдиний показник, щоб зробити певний висновок, оскільки цей єдиний показник може виявитися випадковою величиною. Дисертант повинен одержати цілу сукупність одиничних показників, тобто виконати певне число вимірювань. Якщо виконано n вимірювань, то одержані одиничні показники можна позначити як x₁, x₂, … x_n. Щоб характеризувати одержану сукупність значень, обчислюють середню арифметичну величину, яка узагальнює кількісні ознаки ряду однорідних показників. Вона застосовується в тих випадках, коли між визначальною властивістю і даною ознакою існує пряма пропорційна залежність(наприклад, при поліпшенні показників роботи класу поліпшується також показники роботи кожного учня цього класу). Середню арифметичну обчислюють шляхом додавання всіх одержаних числових значень (варіант) і ділення суми на їх число.

7.2. Статистична обробка дослідних результатів

Середня арифметична може бути простою незваженою, коли кожен із варіантів варіаційного ряду зустрічається лише один раз. Якщо ж варіанти або інтервали повторюються кілька разів, то середня арифметична обчислюється з урахуванням так званої статичної ваги й називається зваженою середньою арифметичною (статистичною вагою або частотою b називають кількість повторень варіантів або інтервалів). Середня зважена арифметична величина обчислюється за формулою:

 

 

Під медіаною (M_e) розуміють таке значення ознаки, що вимірюється і припадає на середину упорядкованого варіаційного ряду, поділяє його навпіл.

Якщо впорядкований ряд містить непарне число значень ознаки, то медіана є середнім значенням. Якщо ряд містить парне число різних випадків, то медіана дорівнює середньому між двома центральними значеннями.

Мода (M_o) – це значення спостережень у множині що зустрічається найчастіше.

Середні величини є різними мірами центральної тенденції сукупності даних, що передбачають різні значення їх «центрального положення». Кожна міра дає таке значення, котре оцінює сукупність у цілому. Тому середні характеристики завжди необхідно доповнювати показниками варіації. Їх є кілька: розмах, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Найпростішою характеристикою варіації є розмах варіювання. Його визначають як різницю між найбільшим і найменшим результатами вимірювань. Однак він зумовлює тільки крайні відхилення і не характеризує відхилень усіх результатів.

Щоб відобразити їх та мати узагальнюючу характеристику, треба розрахувати суму всіх квадратів відхилень від середнього результату та поділити цю суму на кількість вимірювань.. У такий спосіб дістанемо середній квадрат відхилень або дисперсію, що позначається грецькою маленькою літерою –? і обчислюється за формулою:

?

?

?

Найчастіше використовується середнє квадратичне відхилення? =?, яке наочно характеризує ступінь розсіювання даних на полігоні частот.

Для обгрунтування статистичних висновків, що, як правило, здійснюється на основі окремих вибірок, а не всієї генеральної сукупності даних, розраховуються показники точності й надійності (довірчої імовірності). Що менше було варіантів вибірки, то меншою буде впевненість у правильності висновків. У практиці педагогічного дослідження вибірки – найчастіше невеликі (наприклад, склад учнів контрольної або експериментальної групи не обирається, а вже заданий наявними умовами). Однак, виходячи з вимог забезпечення достатньої інформації для статистичної обробки даних, вибірки повинні мати не менше 30 варіантів.

При проведенні вибіркових спостережень важливим завданням є визначення характеристик генеральної сукупності. Вибіркові середні, як правило, не будуть збігатися з характеристиками генеральної сукупності, які треба визначити, а відхилятимуться у той чи інший бік. Загальна величина цього відхилення при вибірковому спостереженні складається з помилок подвійного роду: помилок точності і помилок пепрезентивності. Помилки точності зумовлені неправильним установленням факту при одиничних спостереженнях. Вони належать до випадкових. Помилки репрезентативності зобов’язані своїм виникненням невідповідності складу вибіркової сукупності складу генеральної, неоднорідністю варіант.

Стандартна (середня квадратична) помилка середньої арифметичної вибірки ( тобто показник її розсіювання ) визначається за формулою

??

Отже, середня вибіркова арифметична може знаходитися між M – m та M + m.

Чим менша взята вибірка, тим більше очікувана помилка у визначенні середньої арифметичної стосовно середньої генеральної сукупності.

 

У педагогічних дослідженнях для вивчення рівня знань, умінь і навичок, властивостей особистості, інтересів, здібностей, нахилів тощо – практично завжди виконують порядкові вимірювання. У цьому випадку зі всіх властивостей чисел використовують тільки дві: «різниця» та «впорядкованість». Якщо у процесі вимірювання, наприклад, такої властивості характеру, як охайність, число, присвоєне досліджуваному X, є більшим від числа, присвоєного дослідженому Y, то це означає, що X є більш охайним, ніж Y. Сказати наскільки або, тим більше,у скільки разів X є більш акуратним, ніж Y, тут не можна, оскільки немає «одиниць охайності».

??

??

 

Питання:

6.1. Основні поняття математичної статистики.

6.2. Статистична обробка результатів психолого-педагогічних досліджень.

 

Застосування математики до інших наук має сенс тільки в єднанні із глибокою теорією конкретного явища. Про цьому важливо пам'ятати, щоб не збиватися на просту гру у формули, за якої не коштує ніякого реального змісту.

Академік Ю.А. Митропольский

 

Теоретичні методи дослідження в психології й педагогіці дають можливість розкрити якісні характеристики досліджуваних явищ. Ці характеристики будуть повніше й глибше, якщо накопичений емпіричний матеріал піддати кількісній обробці. Однак, проблема кількісних вимірів у рамках психолого-педагогічних досліджень дуже складна. Ця складність полягає насамперед у суб'єктивно-причинному різноманітті педагогічної діяльності і її результатів, у самому об'єкті виміру, що перебуває в стані безперервного руху й зміни. Разом з тим введення в дослідження кількісних показників сьогодні є необхідним й обов'язковим компонентом одержання об'єктивних даних про результати педагогічної праці. Як правило, ці дані можуть бути отримані як шляхом прямого або опосередкованого виміру різних складових педагогічного процесу, так і за допомогою кількісної оцінки відповідних параметрів адекватно побудованої його математичної моделі. Із цією метою при дослідженні проблем психології й педагогіки застосовуються методи математичної статистики. З їхньою допомогою вирішуються різні завдання: обробка фактичного матеріалу, одержання нових, додаткових даних, обґрунтування наукової організації дослідження й інших.

Література:

1.Коханко О.М. Основи психолого-педагогічних досліджень. Хм.-2001р.

2. Цехмістер А.І. Основи психолого-педагогічних досліджень. К.-2000р.

3. В.В. Краевский. Методология педагогического исследования. – Самара: СамГПИ, 1994. – С.11.