Лекція 6. Методи математичної статистики

У ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ

(За С.У.Гончаренком)

План

6.1. Вимірювання в педагогіці.

6.2. Вимірювальні шкали.

6.3. Групування дослідницьких даних.

6.4.Основні поняття математичної статистики.

6.5.Статистична обробка даних педагогічних досліджень.

 

Вимірювання в педагогіці.

Теоретичні методи дослідження в педагогіці дають можливість розкрити якісні характеристики педагогічних явищ, що вивчаються. Ці характеристики будуть більш повними і глибшими, якщонагромаджений емпіричний матеріал піддавати кількісній обробці. З цією метою при дослідженні педагогічних проблем застосовуються методи математичної статистики. За допомогою них розв’язуються різні завдання: обробка фактичного матеріалу; одержання нових, додаткових даних; обгрунтування наукової організації дослідження тощо.

Статистичні методи сьогодні стали невід’ємною частиною педагогічних досліджень, оскільки без них при розв’язанні цілого ряду дослідницьких задач не можна дати об’єктивну інтерпритацію результатів вимірювань. справа в тому, що педагогічні вимірювання, виконані за допомогою різних тестів, опитувальників, завжди супроводжуються певною похибкою, яку викликають недосконалість діагностичного інструментарію, різні обставини, пов’язані з умовами проведення вимірювань. Тому результат педагогічного дослідження має ймовірнісний характер, отже, необхідно доводити статистичну вірогідність (значущість) одержаних результатів. Це й зумовило застосування в педагогіці статистичних методик порівняння рівнів досліджуваних параметрів, інтегральних характеристик результатів вимірювань, мір варіації параметрів тощо.

Якими б різноманітними не були цілі та методи педагогічних досліджень, отримані в їхньому підсумку дані завжди є результатами вимірювань різних педагогічних явищ (процесів, станів, властивостей). Під вимірюванням зазвичай розуміють процедуру приписування чисел об’єктам вивчення відповідно до певних правил.

Реальний зміст цих величин визначають за допомогою змістового педагогічного аналізу відповідних аспектів і процесів навчання та виховання. Відповідність числових характеристик цим реальним величинам становить першу важливу умову коректності будь-якого кількісного дослідження. Їх можна досягти за допомогою різних способів вимірювання. Головними з них є:

– реєстрація і підрахунок об’єктів за даною педагогічною ознакою (так вимірюється, наприклад, успішність і відвідування учнями занять);

– упорядкування об’єктів за порівнюваною величиною (рангом) певної ознаки (так вимірюється, наприклад, знання учнів, кваліфікація учителів тощо);

– зіставлення величини досліджуваної ознаки з певним стандартним інтервалом, який приймають за одиницю міри (так вимірюють, наприклад, швидкість читання учнем тексту);

– співвіднесення величин ознаки з інтервалом можливих її значень.

Застосування цих способіввимірювання дає змогу побудувати відповідно номінальну, ординальну, інтервальну або раціональну шкалу числових характеристик величин, що вивчаються.

Необхідно враховувати, що проблема вимірювання в педагогіці ускладнюється тим, що багато змінних педагогічного процесу безпосиредньо не можна спостерігати й вимірювати (наприклад, ступінь складності навчального матеріалу, процес переходу знань у їхні переконання, ефективність дидактичного, методичного чи виховного впливу тощо). В цих умовах застосовують методи побічного вимірювання, тобто безпосиредньо спостерігають і вимірюють не ті величини, що вивчають, а інші – які можна спостерігати (індиканти) і які відомим способом пов’язані з досліджуваними змінними-величинами, які не можна спостерігати.

Так, рівень сформованості навички можна вимірювати за часом, затраченим на розв’язання задачі, і кількістю помилок. Необхідною умовою коректності вимірювання є при цьому наявність встановленого зв’язку між індикантом і величиною, яка через нього характеризується і яку не можна спостерігати.

У реальному житті найпростіша педагогічна дія зумовлена великою кількістю одночасно діючих факторів, частина з яких практично не підлягає контролю, навіть в умовах суворого лабораторного експерименту. Тому переважна більшість використовуваних у педагогіці показників є випадковими величинами, тобто такими, які з певними ймовірностями можуть набувати деяку множину числових значень.

Відомо, що наукові висновки грунтуються не на поодинокому факті, а на достатньо потужній їх множині. Для одержання такої множини фактів необхідно декілька разів повторити вимірювання того чи іншого показника. У результаті вимальовується досить строката картина його числових значень. Щоб вивести в отриманому числовому матеріалі певні закономірності та зробити продуктивні, обгрунтовані висновки, треба його спеціально обробити за допомогою методів математичної статистики.

Педагогічні закономірності визначаються великою кількістю діючих факторів, і їхні причинно-наслідкові зв’язки ускладнюються різними випадковими співвідношеннями. Саме тому в педагогічних дослідженнях велике значення має статистичний аналіз кількісних показників, оскільки статистичні методи дають можливість оцінювати ступінь випадковості того чи іншого педагогічного явища, того чи іншого взаємозв’язку явищ.

Найлегше одержати кількісні дані про перебіг педагогічних процесів. Наприклад, ми можемо безпосередньо виміряти тривалість сприймання навчальної інформації. Найважче визначити ступінь вираженостіпедагогічної властивості: для того щоб визначити ступінь здатності учня до вивчення навчального предмету, треба співставити успішність володіння цим предметом із затраченим трудовим зусиллям.

Вимірювані ознаки зовнішніх дій досліджуваних, їхніх висловлювань і прихованих фізіологічних реакцій називають показниками дослідження. Іноді показники безпосиредньо характеризують педагогічний процес абопедагогічний стан. Так, ми можемо виміряти тривалість процесу сприймання інформації або мислительного процесу. Але при цьому треба пам’ятати, що всякий показник характеризує педагогічний процес лише з одного боку, і, для того розкрити закономірності процесу, треба співставляти між собою різні показники. Особливо важливо співставляти показники тоді, коли кожен із них окремо характеризує педагогічний процес або властивість не прямо, а опосередковано. Так, наприклад, буває в тому випадку, коли ми хочимо розкрити властивість емоційного прояву за допомогою прихованих психологічних реакцій.

Важливою вимогою до вимірювання у педагогіці є їхня надійність, під якою розуміють відтворюваність результатів вимірювання, які повторюються за ідеальнихумов. Кількісно оцінку надійності вимірюють за допомогою взаємозв’язку результатів повторних вимірювань, і вона визначається як об’єктивності самого спостерігача (експерементатора), таки і постійними характеристиками вимірювального інструментарію та фізичною незмінністю властивостей, які вимірюються. Забезпечення надійності вимірювань є важливим завданням експериментальної педагогіки. Водночас, вимога надійності вимірювань не є головною стосовно вимоги валідності.

Валідність – це адекватність і дієвість вимірювального інструментарію, найважливіший критерій його доброякісності, який характеризує точність вимірювання досліджуваної властивості. Стосовно валідності, наприклад, тесту, це означає, наскільки його окремі складові адекватні досліджуваній проблемі. Валідність тесту визначається кореляцією його результатів з іншими критеріями властивості, яку вимірюють. Перевірка валідності тесту називається валідацією (валідизацією).

Звичайно, не слід «гнатися за модою на математику» і вдаватися до математичних методів там і тоді, де в цьому немає потреби. Математичне вивчення зв’язків і залежностей у педагогічних явищах є виправданим і дійовим лише тоді, коли воно грунтується на старанному та якісному аналізі. Математичні методи ні в якому разі не слід протиставляти методам якісного аналізу і замінювати ними цей аналіз.

Вимірювальні шкали.

Встановлення певних відмінностей, з одного боку, між явищами, що вивчаються, а з іншого – між числами,що їх характеризують, називають вимірами. Вони здійснюються на основі обраної одиниці вимірювання і починаються з побудови шкал. Щодо вибору засобу педагогічних вимірів, то він зумовлюється характером отриманих у процесі експерименту даних, тобто тим, що вимірюється. Відповідно до цого використовуються чотири вимірювальні шкали: найменування, порядок (ранг), інтервали і відношення.

Шкала найменувань. Найпростішим типом вимірювань у педагогіці є вимірювання на основі шкали найменувань. Будова та використання такої шкали єможливою, якщо визначено критерії, які дають змогу за станом вимірюваної властивості розподілити ці об’єкти на декілька класів, де кожен об’єкт має потрапити тільки в один клас. Усім об’єктам, які потрапили в один і той же клас, приписують одне й те ж число. Об’єктам іншого класу приписується інше число. За цих умов числам, що приписані об’єктам, притаманні тільки властивості рівностей і відмінностей. Якщо об’єктам приписане одне і те ж число, то ці об’єкти за станом вимірюваної властивості однакові, а якщо їм приписані різні числа, то за цією ознакою вони є різними.

Прткладом вимірювання за шкалою найменувань є класифікація учнів за двома ознаками: стать і вміння користуватися комп’ютером при побудові й аналізі графіків. За кожною ознакою виділемо в цьому випадку по дві градації: дівчинка, хлопчик, і вміння користуватися, невміння користуватися. Отже, за цими двома ознаками колектив учнів розділиться на чотири класи: дівчатка, які вміють користуватися комп’ютером; дівчатка, які не вміють користуватися комп’ютером; хлопчики, які вміють користуватися комп’ютером; хлопчики, які не вміють користуватися комп’ютером. Далі всім об’єктам першого класу припишемо, наприклад, число один, об’єктам другого класу – число два, третього класу – число три та четвертого класу – число чотири. Класифікація деякої сукупності об’єктів за декількома ознаками дає змогу не тільки виявити структуру сукупності, а й отримати дані, необхідні для з’ясування зв’язку двох і більше ознак. У наведеному прикладі такими ознаками є стать учнів і вміння користуватися комп’ютером.

У шкалі найминувань числа, приписані об’єктам, використовують як ярлики, – їх можна замінити будь-якими символами: літерами, значками тощо. Тому кількісну обробку експериментальних даних проводять не з самими числами, а з числами, що характеризують кількість об’єктів, які потрапили в кожен клас.

Присвоєння чисел не означає якість предметів, їхній розмір, а характеризує різницю у властивостях, тому ці числа можна змінювати місцями, групувати, підраховувати скільки разів вони зустрічаються. Однак їх не можна додавати і віднімати, а можна тільки встановлювати рівність або нерівність, кількість випадків, моду, кореляцію якісних перемін.

Шкала найменувань дає змогу проводити декілька статистичних операцій. Передусім можна підрахувати кількість об’єктів у кожному класі та знайти просте або відсоткове відношення її до загальної кількості об’єктів, що розглядаються, тобто підрахувати абсолютну, відносну або відсоткову частоти класу. На основі одержаних результатів можна виділити клас з найбільшою кількістю об’єктів (найбільшою абсолютною частотою), який прийнято називати модою. Якщо продовжити спостереження, не змінюючи умов, за яких була визначена мода, то мода буде представляти об’єкти, на появу яких можна очікувати з більшою ймовірністю порівняно з появою інших об’єктів.

Незважаючи на здавалося б примітивну шкалу найменувань, вимірювання за цією шкалою можна використовувати для перевірки деяких статистичних гіпотез і обчислення показників кореляції якісних ознак.

 

Шкала гіпотез. Дещо більші можливості дає вимірювальна шкала порядку, або рангова, що, як і шкала найменувань, найчастіше використовується у педагогіці, психології. Порядковий вимір стає можливим, коли у предметах виявляються різні ступені інтенсивності тієї самої ознаки або властивості, тому, крім рівності або нерівності, можна встановити порядок співвідношення «більше-менше», «краще-гірше». Шкала застосовується, коли необхідно врахувати якісні показники педагогічних явищ, що не мають суворого кількісного означення. Наприклад, якість виконавчої інтерпритації музичного твору, наявність художнього смаку, інтересу до педагогічної професії тощо.

У педагогічних дослідженнях для вивчення рівня знань, умінь і навичок, властивостей особистості, інтересів, нахилів тощо практично завжди виконують порядкові вимірювання. У цьому випадку зі всіх властивостей чисел використовують тільки дві: «різниця» та «впорядкованість». Тому якщо у процесі вимірювання, наприклад такої властивості характеру, як дисциплінованість, число, присвоєне досліджуваному А, є більшим від числа, присвоєного досліджуваному Б, то це означає, що А є більш дисциплінованим, ніж Б. Сказати наскільки або, тим більше, у скільки разів А є більш дисциплінованим, аніж Б, ми тут не можемо, оскільки не маємо одиниць дисциплінованості.

Або інший класичний приклад: шкільні бали для оцінювання рівня знань. Очевидно, що дев’ятка за дванадцятибальною системою оцінювання є кращою від п’ятірки, а десятка від сімки. однак твердження, що дев’ять є більшим (кращим) за п’ять на чотири одиниці, як і десять від семи на три одиниці, не має сенсу, бо різниця між дев’ять і п’ять та десять і сім, змістово є нерівноцінною.

На відміну від попередньої шкали найменувань, у цій шкалі різні об’єкти розташовані за однією шкалою.

 

Шкала інтервалів. Вимірювальна шкала інтервалів реалізується тоді, коли можна визначити не тільки кількість властивостей у предметах, а й різницю між ними (інтервали). Така шкала припускає операції визначення «рівно-нерівно», «менше-більше» і, що найістотніше, – «рівності-нерівності» інтервалів між рангами. Це дає змогу введення одиниці інтервального виміру, а відтак і можливість виконання всіх арифметичних операцій. Предмету присвоюється номер, кількість одиниць виміру, що, в свою чергу, еквівалентно кількості наявної властивості. Проте особливість такої шкали в тому, що нульова точка виміру вибирається довільно, за згодою. Це означає невизначеність її початку, тобто повну відсутність цієї ознаки. Виміри проводяться тільки в якомусь діапазоні властивостей, тому шкали інтервалів дають відповідь на запитання «наскільки більше?», але не дають можливості підтвердити, що одне значення вимірюваної величини настільки-то більше або менше за інше.

Зазначимо, що в педагогічних дослідженнях вибір одиниці виміру досить складне завдання, яке нерідко неможливо вирішити. Наприклад, як кількісно оцінити рівень знань, творчого самовираження учнів тощо. Уцих випадках необхідно відшукати непрямі, опосередковані ознаки властивостей, які можна виміряти і з певною припустимістю зіставляти з досліджуваною властивістю.

Для впорядкування шкали інтервалів варто за одиницю виміру використовувати виконане завдання, тест, правильну відповідь на запитання.

 

Шкала відношень. Вимірювальна шкала відношень, або пропорційна, відрізняється від шкали інтервалів тільки тим, що в ній чітко позначено положення нульової точки відліку, тобто вона не довільна, а вказує на повну відсутність властивості, що вимірюється, тому відношення номерів, присвоєних об’єктам при вимірюванні, відобрахають кількісні відношення властивості. У педагогічних дослідженняхця шкала використовується дуже рідко через труднощі пошуку вимірювачів відповідних властивостей. Прикладами таких шкал може бути вимірювання витраченого часу на розв ’язання нової задачі, на запам’ятовування списку слів, нотних тактів. Так, можна говорити, що учні А та Б з нуля часу почали розв’язувати задачу і А розв’язав задачу в 1,3 рази швидше, ніж Б. Шкала припускає виконання всіх операцій математичної статистики.

Зіставлення вимірювальних можливостей розглянутих шкал показує їх істотну різницю, тому ці шкали поділяють на метричні ( тобто, по суті, на вимірювальні ) і метричні. До неметричних належать шкали найменувань і порядку, які прийнято називати якісними, оскільки вони не підлягають арифметичним операціям. До метричних – шкали інтервалів і відношень, які називають кількісними: вони розраховані на арифметичні операції. Звідси стає зрозумілою важливість вибору одиниці вимірів для кількісного аналізу педагогічних явищ, які вивчаються.

Щоб заповнити метричні вимірювальні шкали, необхідно мати вихідні емпіричні дані про досліджуваний об’єкт у вигляді ряду чисел і певним чином упорядкувати їх. Сукупність усіх значень, котрі можна добути для вивчення об’єкта, називають генеральною сукупністю, а її частину – вибірковою сукупністю, або вибіркою.

Генеральна сукупність буває або дуже великою, незручною для опрацювання, або недоступною для отримання даних, тому найчастіше використовується вибірка. Вона складається за допомогою випадкового добору елементів генеральної сукупності. Отримані кількісні дані спочатку створюють невпорядкований ряд, бо записані у випадковій послідовності. цей ряд потрібно ранжувати за величиною даних, надати йому рангового порядку і в такий спосіб одержати впорядкований ряд. Якщо в ньому повторюються дані з однаковими ранговими значеннями, то треба підрахувати їхню кількість. Це перетворить впорядкований ряд у статистичний, необхідний для компактного запису даних та графічного зображення, тобто упорядкований ряд з певних ознак.

На основі такого статистичного ряду можна складати таблиці і наочні форми відображення даних. Упорядкування таблиць називають табулюванням.

Числове значення ознаки, за якою групуються дані, називається варіантом, а кількість випадків, що припадають на кожну групу – частотою. Ряд розподілу частот складає початкову форму репрезинтації експериментального матеріалу, на основі якої проводиться його подальша кількісна обробка та графічна ілюстрація, необхідні для досягнення досліджуваних даних, полегшення їхнього якісного аналізу, збереження і подальшого використання.